Какова онтология свойства дифференцируемости функции?

[_hum_]

Собственно, вопрос - есть ли какие-то фундаментальные свойства нашего мира, что определяют существование дифференцируемых функций [ну, там какие-нибудь свойства пространства], ? или это воспринимается как аксиома? (Просто задумался, при каких самых общих условиях имеет смысл предполагать эту самую дифференцируемость).

Спасибо.

[EEater]

Фундаментальные законы природы это дифференциальные уравнения.

[warlock66613]

Не исключено, что некие пока не известные ещё-более-фундаментальные уравнения являются, например, уравнениями в конечных разностях. Тогда можно было бы сказать, что дифференциальные уравнения "работают" только потому, что от одного можно перейти к другому.

На самом деле фундаментальность не важна. В любом случае можно было бы наоборот описывать всё уравнениями в конечных разностях, но с ними просто сложнее работать, чем с дифференциальными уравнениями, поэтому дифференциальные уравнения считаются "фундаментальными", а уравнения в конечных разностях - их приближением, а не наоборот.

Так что я бы сказал, что если тут и скрыто какое-то фундаментальное свойство реального мира, то только, что очень маленькое очень похоже на бесконечно малое, а очень большое - на бесконечно большое.

[_hum_]

EEater в сообщении #1293210 писал(а):

Фундаментальные законы природы это дифференциальные уравнения.

почему?

warlock66613 в сообщении #1293214 писал(а):

Не исключено, что некие пока не известные ещё-более-фундаментальные уравнения являются, например, уравнениями в конечных разностях. Тогда можно было бы сказать, что дифференциальные уравнения "работают" только потому, что от одного можно перейти к другому.

дык.. весь же цимус в дифференцируемости в том, что при малых изменениях аргумента функция ведет себя как линейная. неважно, в конечно-разностном варианте или нет. вот и спрашивается, почему так?

[warlock66613]

_hum_ в сообщении #1293237 писал(а):

почему так?

А если это не так, мы можем свернуть эту функцию с какой-нибудь хорошей гладкой дифференцируемой функцией (скажем, с гауссианой небольшой ширины), и поскольку свёртка - операция с хорошими свойствами, то можно ожидать, что если исходная функция подчиналась какому-то закону, то и для полученной дифференцируемой функции также можно будет сформулировать закон, которому она будет подчиняться (и выразить этот закон на языке дифференциальных уравнений).

[EEater]

_hum_ в сообщении #1293237 писал(а):

почему?

Потому что предмет физики - движение (необязательно механическое). Движение выражается некоторой функцией (координат и времени, в частном случае - координат от времени). Физическая задача - нахождение движения при заданных начальных и граничных условиях. Вопрос: что это за раздел математики, где результатом решения задачи является функция?

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1293161 писал(а):

Собственно, вопрос - есть ли какие-то фундаментальные свойства нашего мира, что определяют существование дифференцируемых функций

В такой-то постановке это вообще не вопрос. Функции «существуют» не в том же смысле, они существуют в головах, и даже если бы ни одной головы не было, найдутся люди, которые утвердят, что функции всё равно существуют в мире идей, отдельном от вообще всего. Так что в более узком смысле мир должен поддерживать появление и существование разума, а в более широком вообще ничего не должен.

[wrest]

_hum_ в сообщении #1293161 писал(а):

Просто задумался, при каких самых общих условиях имеет смысл предполагать эту самую дифференцируемость

Наверное тогда когда мы предполагаем что что-то будет сохраняться и не будет бесконечных значений физических величин.
Но случаи-то бывают разные. Вот например абсолютно упругий удар. При его идеализации мы закрываем глаза на конечную ("в реальности") длительность упругого удара и конечные ускорения соударяющихся бильярдных шаров. И нам как раз удобно считать, чтобы функция например скорости не была дифференцируемой в собственно момент удара.

[epros]

(А вот, наконец-то, и правильный ответ)

arseniiv в сообщении #1293282 писал(а):

В такой-то постановке это вообще не вопрос

[_hum_]

warlock66613 в сообщении #1293247 писал(а):

А если это не так, мы можем свернуть эту функцию с какой-нибудь хорошей гладкой дифференцируемой функцией (скажем, с гауссианой небольшой ширины), и поскольку свёртка - операция с хорошими свойствами, то можно ожидать, что если исходная функция подчиналась какому-то закону, то и для полученной дифференцируемой функции также можно будет сформулировать закон, которому она будет подчиняться (и выразить этот закон на языке дифференциальных уравнений).

не, заранее это

Цитата:

"если исходная функция подчиналась какому-то закону, то и для полученной дифференцируемой функции также можно будет сформулировать закон, которому она будет подчиняться (и выразить этот закон на языке дифференциальных уравнений)"

совсем не очевидно, что должно быть (что свертка не будет убивать адекватность модели). возьмите непрерывные траектории того же винеровского процесса и примените к нему свертку.

EEater в сообщении #1293253 писал(а):

Потому что предмет физики - движение (необязательно механическое). Движение выражается некоторой функцией (координат и времени, в частном случае - координат от времени). Физическая задача - нахождение движения при заданных начальных и граничных условиях. Вопрос: что это за раздел математики, где результатом решения задачи является функция?

вообще-то раздел не обязан быть "дифференциальным исчислением". постулируется непрерывность времени и пространства - как следствие непрерывность (или кусочную непрерывность) функции величин, описывающих движение. а вот то, что они должны быть почти линейными на малых масштабах (ака дифференцируемыми) - совсем не очевидно.

arseniiv в сообщении #1293282 писал(а):

В такой-то постановке это вообще не вопрос. Функции «существуют» не в том же смысле, они существуют в головах, и даже если бы ни одной головы не было, найдутся люди, которые утвердят, что функции всё равно существуют в мире идей, отдельном от вообще всего. Так что в более узком смысле мир должен поддерживать появление и существование разума, а в более широком вообще ничего не должен.

это все понятно. вопрос был в контексте, когда ожидать, что мат. модель с дифференцируемой функцией будет адекватной.

wrest в сообщении #1293295 писал(а):

Наверное тогда когда мы предполагаем что что-то будет сохраняться и не будет бесконечных значений физических величин.

ну вот как ньютон (а теперь и мы) дошел до того, что величина приращения пути, отнесенная ко времени (а не например, к квадрату времени) должна стремится к какому-то значению при стремлении времени к нулю?

[Anton_Peplov]

Поскольку дифференцируемость - это линейность в малом, напомню также о существовании темы «Роль линейных зависимостей.».

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Междисциплинарный раздел»
Причина переноса: даже если это все же вопрос, он, пожалуй, не чисто математический, так что давайте поедем сюда.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1293318 писал(а):

это все понятно. вопрос был в контексте, когда ожидать, что мат. модель с дифференцируемой функцией будет адекватной.

Можно сразу сказать, что раз этот вопрос касается Вселенной, он существенно экспериментальный, так что вывод должен будет полагаться на какие-то опыты, чисто математический будет практически наверняка (я бы написал «заведомо», но признаю, что мог не всё учесть) ошибочным.

_hum_ в сообщении #1293318 писал(а):

ну вот как ньютон (а теперь и мы) дошел до того, что величина приращения пути, отнесенная ко времени (а не например, к квадрату времени) должна стремится к какому-то значению при стремлении времени к нулю?

А в его времена (и при Эйлере даже) о «плохих» функциях особо не думали.

[Korvin]

Может глубокий смысл дифференцируемости в том, чтобы правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0 работало.

[wrest]

_hum_ в сообщении #1293318 писал(а):

ну вот как ньютон (а теперь и мы) дошел до того, что величина приращения пути, отнесенная ко времени (а не например, к квадрату времени) должна стремится к какому-то значению при стремлении времени к нулю?

Ньютон-то дошел, а потом появился Гейзенберг и сказал, что координату и скорость нельзя определить одновременно со сколь угодно большой точностью.
Так что "на самом деле" что там происходит при "реальном" (а не идеальном, математическом) стремлении чего-нибудь (приращения времени или координаты) к нулю, не очень-то ясно.