2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 16:32 


08/09/13
11
Какую наибольшую площадь имеет треугольник, в котором длины сторон - целые числа и сумма длин всех медиан меньше 9? Решать, разумеется, без компьютера :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 20:07 


05/09/16
6011
Мне кажется что это треугольник со сторонами $3,3,4$ но оценить сумму длин медиан устно чего-то не выходит. А, ну и площадь у него $2\sqrt{5}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 20:16 


08/09/13
11
wrest в сообщении #1291244 писал(а):
Мне кажется что это треугольник со сторонами $3,3,4$ но оценить сумму длин медиан устно чего-то не выходит. А, ну и площадь у него $2\sqrt{5}$
Пока не скажу верный ли ответ. Интересует ход решения. Устно оценивать и не надо - листочек, ручку и даже калькулятор никто не отменял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 20:35 
Аватара пользователя


14/12/17
753
деревня Инет-Кельманде
Она не больше $3\sqrt 3$, но это оценка сверху, не ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 20:50 


05/09/16
6011
GAE
Так а чего тут, 4,4,4 же великоват (это вполне устно), а 3,3,3 маловат (тоже устно), чем пузатей треугольник тем его площадь больше, а 4,4,3 вроде тоже великоват.
Если сумма медиан 9, то периметр от 9 до 12. Дальше можно тупо перебором, в умище :)

-- 08.02.2018, 20:54 --

GAE
Не ну с калькулятором теперь уже и неинтересно, пусть кто-то уже точно порешает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 21:15 


08/09/13
11
wrest в сообщении #1291257 писал(а):
Если сумма медиан 9, то периметр от 9 до 12. Дальше можно тупо перебором, в умище :)
Соображение про периметр верное: сумма длин медиан < периметр < 4/3 суммы длин медиан. При этом у нас сумма длин медиан меньше 9, а не ровно 9. Вопрос ещё в том, как сократить перебор треугольников с периметром меньше 12 и как строго обосновать ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение08.02.2018, 23:21 


05/09/16
6011
GAE
Перебор сокращаем так: надо чтобы выполнялось правило существования треугольника, то есть все стороны должны быть меньше половины периметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 01:19 


08/09/13
11
wrest
Само собой, что неравенство треугольника должно выполняться. Сокращение перебора не в этом. А, например, в том, что треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать. Надо только это правильно аргументировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 12:22 


05/09/16
6011
GAE в сообщении #1291303 писал(а):
треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать. Надо только это правильно аргументировать.

Ну да... Про пузатость...
eugensk в сообщении #1291253 писал(а):
Она не больше $3\sqrt 3$, но это оценка сверху, не ответ.

Кстати это может быть полезным вот как. Если помнишь только формулу Герона, то знай, что под корнем должно быть число меньшее $27$. Как раз так легко (в уме) проверить что треугольник $3,4,4$ не подходит: полупериметр $5,5$ и далее $s=\sqrt{5,5(5,5-4)(5,5-4)(5,5-3)}$ и чтобы не мучиться с половинами, в уме представляем как
$s=\sqrt{\dfrac{11(11-8)(11-8)(11-6)}{16}}=\sqrt{\dfrac{11\cdot 3\cdot 3 \cdot 5}{16}=$\sqrt{11\cdot 5\cdot \dfrac{9}{16}}=\sqrt {55\cdot\dfrac{9}{16}}
так что под корнем число больше $27$ и значит треугольник $3,4,4$ не подходит, так что остается только проверить сумму длин медиан треугольника $3,3,4$
Наверное можно придумать как это сделать в уме не особо напрягаясь, но без Википедии не придумывается :mrgreen: Одна (меньшая) медиана проведенная к стороне $4$, по теореме Пифагора равна $\sqrt{5}$, а вот две других (проведенных к сторонам 3) -- я без бумажки в уме посчитать не могу, а готовую формулу без Википедии не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 12:24 
Заслуженный участник


03/01/09
1329
москва
GAE в сообщении #1291303 писал(а):
wrest треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать.

При заданном периметре наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник, так что для периметра 9 наибольшая площадь равна: $S_1=\dfrac {9\sqrt {3}}4$. В то же время для треугольника с периметром 10 и сторонами (3, 3, 4) площадь равна $S_2=\frac 123^2\sin 2\varphi =\sqrt {20}>S_1,\text {где}$ $2\varphi $- угол между равными сторонами). Поэтому можно ограничиться треугольниками с периметром >9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 12:44 


05/09/16
6011
mihiv в сообщении #1291346 писал(а):
В то же время для треугольника с периметром 10 и сторонами (3, 3, 4) площадь равна $S_2=\frac 123^2\sin 2\varphi =\sqrt {20}>S_1,\text {где}$ $2\varphi $- угол между равными сторонами).

А синус вы в уме посчитали, без компьютера? :wink: Тут же как бы цимес в том чтобы посчитать в уме не особо напрягаясь, ну или с минимумом использования бумажки если больше трех чисел запоминать сложно. Так что для площади непрямоугольного треугольника -- формула Герона и только она. Об угле при равных сторонах можно сказать что он больше чем в равностороннем треугольнике так что и синус должен быть больше а следовательно и площадь, но это точно если угол остается не тупым (а иначе есть варианты), так что тут надо приводить соображение почему он не тупой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 12:56 


08/09/13
11
mihiv
Отлично! Именно поэтому можно не рассматривать треугольники с периметром 9 и меньше.
Формула для оценки площади треугольника $S$ через его периметр $P$ такая: $S$ \leqslant\frac{\sqrt{3}}{36}{P^2}, причём равенство достигается только для равностороннего треугольника.
Ну и формула для вычисления длины медианы, проведённой к стороне $c$: $m$ = $\frac{1}{2}$\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

-- 09.02.2018, 15:04 --

Итого: ответ $2\sqrt{5}$ верный.
Для вычисления площади надо, конечно, использовать формулу Герона. Собственно, из неё и неравенства о средних вытекает оценка площади через периметр. А сумму длин медиан придётся проверять ручками или на калькуляторе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 13:07 


05/09/16
6011
GAE в сообщении #1291356 писал(а):
Ну и формула для вычисления длины медианы, проведённой к стороне $c$: $m = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Ну да, вот её-то я и не помнил без Википедии.
С ней для треугольника $3,3,4$ сумма длин медиан выходит равна $\sqrt{5}+\sqrt{41}$ и остается самая малость: показать что это меньше 9.
Для этого оценим оба корня сверху
$\sqrt{5}=\sqrt{500/100}=0,1\cdot \sqrt{500}<0,1\cdot \sqrt{529}=2,3$
$\sqrt{41}=\sqrt{41\cdot 100 /100}=0,1\sqrt{4100}<0,1\sqrt{4225}=6,5$
Так что их сумма меньше $8,8$ а значит и меньше $9$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
wrest в сообщении #1291345 писал(а):
а вот две других (проведенных к сторонам 3) -- я без бумажки в уме посчитать не могу, а готовую формулу без Википедии не помню.
Координатным методом посчитать квадрат такой медианы совсем просто: $m^2=(3-0)^2+(\sqrt{5}/2)^2=10.25$. Разве Википедия даст что-то больше? А корень нужно посчитать с точностью до десятой -- точнее, убедиться, что он меньше 3,3. Тоже устно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшая площадь треугольника
Сообщение09.02.2018, 13:50 
Заслуженный участник


03/01/09
1329
москва
wrest в сообщении #1291358 писал(а):
сумма длин медиан выходит равна $\sqrt{5}+\sqrt{41}$ и остается самая малость: показать что это меньше 9.

$(\sqrt 5+\sqrt {41})^2=46+2\sqrt {205}<46+2\sqrt {225}=76<81$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group