Наибольшая площадь треугольника

[GAE]

Какую наибольшую площадь имеет треугольник, в котором длины сторон - целые числа и сумма длин всех медиан меньше 9? Решать, разумеется, без компьютера

[wrest]

Мне кажется что это треугольник со сторонами $3,3,4$ но оценить сумму длин медиан устно чего-то не выходит. А, ну и площадь у него $2\sqrt{5}$

[GAE]

wrest в сообщении #1291244 писал(а):

Мне кажется что это треугольник со сторонами $3,3,4$ но оценить сумму длин медиан устно чего-то не выходит. А, ну и площадь у него $2\sqrt{5}$

Пока не скажу верный ли ответ. Интересует ход решения. Устно оценивать и не надо - листочек, ручку и даже калькулятор никто не отменял.

[eugensk]

Она не больше $3\sqrt 3$, но это оценка сверху, не ответ.

[wrest]

GAE
Так а чего тут, 4,4,4 же великоват (это вполне устно), а 3,3,3 маловат (тоже устно), чем пузатей треугольник тем его площадь больше, а 4,4,3 вроде тоже великоват.
Если сумма медиан 9, то периметр от 9 до 12. Дальше можно тупо перебором, в умище :)

-- 08.02.2018, 20:54 --

GAE
Не ну с калькулятором теперь уже и неинтересно, пусть кто-то уже точно порешает.

[GAE]

wrest в сообщении #1291257 писал(а):

Если сумма медиан 9, то периметр от 9 до 12. Дальше можно тупо перебором, в умище :)

Соображение про периметр верное: сумма длин медиан < периметр < 4/3 суммы длин медиан. При этом у нас сумма длин медиан меньше 9, а не ровно 9. Вопрос ещё в том, как сократить перебор треугольников с периметром меньше 12 и как строго обосновать ответ?

[wrest]

GAE
Перебор сокращаем так: надо чтобы выполнялось правило существования треугольника, то есть все стороны должны быть меньше половины периметра.

[GAE]

wrest
Само собой, что неравенство треугольника должно выполняться. Сокращение перебора не в этом. А, например, в том, что треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать. Надо только это правильно аргументировать.

[wrest]

GAE в сообщении #1291303 писал(а):

треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать. Надо только это правильно аргументировать.

Ну да... Про пузатость...

eugensk в сообщении #1291253 писал(а):

Она не больше $3\sqrt 3$, но это оценка сверху, не ответ.

Кстати это может быть полезным вот как. Если помнишь только формулу Герона, то знай, что под корнем должно быть число меньшее $27$. Как раз так легко (в уме) проверить что треугольник $3,4,4$ не подходит: полупериметр $5,5$ и далее $s=\sqrt{5,5(5,5-4)(5,5-4)(5,5-3)}$ и чтобы не мучиться с половинами, в уме представляем как
$s=\sqrt{\dfrac{11(11-8)(11-8)(11-6)}{16}}=\sqrt{\dfrac{11\cdot 3\cdot 3 \cdot 5}{16}=$\sqrt{11\cdot 5\cdot \dfrac{9}{16}}=\sqrt {55\cdot\dfrac{9}{16}}
так что под корнем число больше $27$ и значит треугольник $3,4,4$ не подходит, так что остается только проверить сумму длин медиан треугольника $3,3,4$
Наверное можно придумать как это сделать в уме не особо напрягаясь, но без Википедии не придумывается Одна (меньшая) медиана проведенная к стороне $4$, по теореме Пифагора равна $\sqrt{5}$, а вот две других (проведенных к сторонам 3) -- я без бумажки в уме посчитать не могу, а готовую формулу без Википедии не помню.

[mihiv]

GAE в сообщении #1291303 писал(а):

wrest треугольники с периметром 9 и меньше можно не рассматривать.

При заданном периметре наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник, так что для периметра 9 наибольшая площадь равна: $S_1=\dfrac {9\sqrt {3}}4$. В то же время для треугольника с периметром 10 и сторонами (3, 3, 4) площадь равна $S_2=\frac 123^2\sin 2\varphi =\sqrt {20}>S_1,\text {где}$ $2\varphi $- угол между равными сторонами). Поэтому можно ограничиться треугольниками с периметром >9.

[wrest]

mihiv в сообщении #1291346 писал(а):

В то же время для треугольника с периметром 10 и сторонами (3, 3, 4) площадь равна $S_2=\frac 123^2\sin 2\varphi =\sqrt {20}>S_1,\text {где}$ $2\varphi $- угол между равными сторонами).

А синус вы в уме посчитали, без компьютера? Тут же как бы цимес в том чтобы посчитать в уме не особо напрягаясь, ну или с минимумом использования бумажки если больше трех чисел запоминать сложно. Так что для площади непрямоугольного треугольника -- формула Герона и только она. Об угле при равных сторонах можно сказать что он больше чем в равностороннем треугольнике так что и синус должен быть больше а следовательно и площадь, но это точно если угол остается не тупым (а иначе есть варианты), так что тут надо приводить соображение почему он не тупой.

[GAE]

mihiv
Отлично! Именно поэтому можно не рассматривать треугольники с периметром 9 и меньше.
Формула для оценки площади треугольника $S$ через его периметр $P$ такая: $S$ \leqslant\frac{\sqrt{3}}{36}{P^2}, причём равенство достигается только для равностороннего треугольника.
Ну и формула для вычисления длины медианы, проведённой к стороне $c$: $m$ = $\frac{1}{2}$\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

-- 09.02.2018, 15:04 --

Итого: ответ $2\sqrt{5}$ верный.
Для вычисления площади надо, конечно, использовать формулу Герона. Собственно, из неё и неравенства о средних вытекает оценка площади через периметр. А сумму длин медиан придётся проверять ручками или на калькуляторе.

[wrest]

GAE в сообщении #1291356 писал(а):

Ну и формула для вычисления длины медианы, проведённой к стороне $c$: $m = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Ну да, вот её-то я и не помнил без Википедии.
С ней для треугольника $3,3,4$ сумма длин медиан выходит равна $\sqrt{5}+\sqrt{41}$ и остается самая малость: показать что это меньше 9.
Для этого оценим оба корня сверху
$\sqrt{5}=\sqrt{500/100}=0,1\cdot \sqrt{500}<0,1\cdot \sqrt{529}=2,3$
$\sqrt{41}=\sqrt{41\cdot 100 /100}=0,1\sqrt{4100}<0,1\sqrt{4225}=6,5$
Так что их сумма меньше $8,8$ а значит и меньше $9$

[grizzly]

wrest в сообщении #1291345 писал(а):

а вот две других (проведенных к сторонам 3) -- я без бумажки в уме посчитать не могу, а готовую формулу без Википедии не помню.

Координатным методом посчитать квадрат такой медианы совсем просто: $m^2=(3-0)^2+(\sqrt{5}/2)^2=10.25$. Разве Википедия даст что-то больше? А корень нужно посчитать с точностью до десятой -- точнее, убедиться, что он меньше 3,3. Тоже устно.

[mihiv]

wrest в сообщении #1291358 писал(а):

сумма длин медиан выходит равна $\sqrt{5}+\sqrt{41}$ и остается самая малость: показать что это меньше 9.

$(\sqrt 5+\sqrt {41})^2=46+2\sqrt {205}<46+2\sqrt {225}=76<81$