Нужно уточнить формулировку самих событий.
A1: "Вероятность того, что в первой тройке мы возьмем не взятые раньше шары"
A2: "Вероятность того, что во второй тройке мы возьмем не взятые раньше шары" и т.д.
Неправильно. В ваших формулировках перепутаны события и вероятности. Определение события не может содержать слова "вероятность". Я люблю писать так:

и т.д.
Разумеется, у Вас могут быть другие способы записи, но засовывать слово "вероятность" в определение события не надо.
Тогда A1A2 будет: "Вероятность того, что ни в первой, ни во второй не будут взятые шары"
Верно. Естественно, если убрать упоминание вероятности.
и по логике это аналогично вычислению P(A2), что будет подходить под определение независимости:
P(A2)=P(A2/A1) (A2 при условии A1)
Здесь просто есть такая теорема:
если вероятность одного из событий
или
равна
или
, то
и
независимы. А у Вас

.
Замечание: не забывайте писать знаки доллара вокруг
всех формул, даже односимвольных. Иначе тема запросто может попасть в Карантин.
Это был мой следующий вопрос: как доказать независимость событий, чтобы их спокойно перемножать без учета зависимости.
А они здесь не являются независимыми. Но есть же формула для вероятности произведения зависимых событий.
Знаю 3 эквивалентных определения попарной независимости, но подсчет попарных условных вероятностей меня немного пугает, ведь я не знаю количества вариантов "m(A1A2)" (для первой тройки и второй тройки, например).
Странно. Вы же
явно вычисляете условные вероятности 
,

и

.
Условная вероятность

интерпретируется как "вероятность события

, вычисленная в предположении, что событие

произошло". А Вы так и считаете: вероятность

при условии, что

произошло; вероятность

при условии, что

и

произошли; вероятность

при условии, что

,

и

произошли.