вычислить интеграл

[van341]

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл: $\displaystyle\int\limits_0^1\left|\sum\limits_{k=0}^n\left[\frac{\left(-x\right)^k}{1-x}\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}\right]\right|dx$.

[Lia]

van341
Приведите, пожалуйста, собственные попытки решения.

[Someone]

А он вообще сходится при произвольном целом $n\geqslant 1$?

[van341]

Да, интеграл сходится при $n\ge1$. Значения: $1$; $\frac{5}{6}$; $\frac{4\sqrt{6}}{25}+\frac{1}{3}$ и т.д. Я свел решение к $\displaystyle\int\limits_0^1\left|\sum\limits_{k=0}^n\left[\left(-1\right)^k\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}\sum\limits_{m=0}^{\infty}x^{m+k}\right]\right|dx$. Модуль все портит ((. Без модуля $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\left[\left(-1\right)^k\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{1}{k+m+1}\right]$.

[iifat]

Someone в сообщении #1290230 писал(а):

А он вообще сходится

Недопол. Конечная сумма полиномов - с чего б ему расходиться? Модуль, да, портит картинку.

[B@R5uk]

iifat в сообщении #1290257 писал(а):

Конечная сумма полиномов - с чего б ему расходиться?

Там в единице этот интеграл не собственный и расходится.

-- 05.02.2018, 14:09 --

van341 в сообщении #1290253 писал(а):

Без модуля $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\left[\left(-1\right)^k\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{1}{k+m+1}\right]$.

Сумма

$$\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{1}{k+m+1}$$

является суммой усечённого гармонического ряда. Она расходится.

[thething]

B@R5uk

(Оффтоп)

Иногда $\infty-\infty=$что-то

[B@R5uk]

thething, да-да, а сумма всех натуральных чисел равна $-1/12$, я про это тоже слышал.

[thething]

B@R5uk

(Оффтоп)

Ну Вы хоть посчитайте эти суммы при $n=1,n=2,n=3...$. Эти биномиальные коэффициенты не для красоты именно такими нарисованы. Или, если угодно, посчитайте исходный интеграл (без модуля) хотя бы при $n=1$

-- 05.02.2018, 18:26 --

van341
Скажите, это самостоятельная задача или Вы как-то к ней пришли от какого-то другого начального задания? Что-то мыслей насчет модуля совсем никаких.

[van341]

Я к этой задаче пришил. Сумму под модулем можно представить в виде разности сдвинутых на интервал $\left[0,1\right]$ многочленов Лежандра $\tilde{P}_n\left(x\right)$:
$\displaystyle\int\limits_0^1\frac{1}{1-x}\left|\tilde{P}_n\left(x\right)-\tilde{P}_{n-1}\left(x\right)\right|dx$.
Известно выражение $\displaystyle\tilde{Q}_n\left(t\right)=\int\limits_0^1\frac{\tilde{P}_n\left(x\right)}{x-t}dx=-\tilde{P}_n\left(x\right)\ln\left(\frac{t}{1-t}\right)+2W_{n-1}\left(x\right)$ для сдвинутого многочлена Лежандра второго рода $\tilde{Q}_n\left(t\right)$... Но модуль все портит!!!

[thething]

van341
Ну а модуль-то в какой момент под интегралом оказался? Видно, что интегралы без модуля хорошие и хорошо считаются, а модуль как раскрывать непонятно

[thething]

Не знаю, поможет ли, но удалось доказать, что $\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^kC_{n+k-1}^k=0$

[DeBill]

thething
Ну, в нуле у интеграла нет особенности, да - это Ваша формула и дает.
Если без модуля, интеграл считается (и равен коэф-ту в разложении логарифма, то бишь $\frac{(-1)^{n-1}}{n}$) - я, правда, считал ужасно. Но вот с модулем....

[Markiyan Hirnyk]

Сомневаюсь, что интеграл выражается в замкнутом виде. Для конкретных значений $n >5 $ Математика производит ответ в терминах корней многоленов степени $n -1$, которые в общем случае не выражаются через радикалы. Вот ее ответ после упрощения для $n=5$
$\frac{1}{5}+\frac{8 \sqrt{2 \left(19683\ 7^{2/3} \sqrt[3]{5 \left(275+29 i \sqrt{10}\right)}+\frac{964467\ 5^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{7} \left(275+29 i \sqrt{10}\right)}}+967400\right)}}{45927}.$
Численное значение равно $0.596316\, +1.1140946579001137\cdot 10^{-18} i.$
Ненулевая мнимая часть - следствие вычислительных погрешностей.

[thething]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1290362 писал(а):

Вот ее ответ после упрощения для $n=5$
$\frac{1}{5}+\frac{8 \sqrt{2 \left(19683\ 7^{2/3} \sqrt[3]{5 \left(275+29 i \sqrt{10}\right)}+\frac{964467\ 5^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{7} \left(275+29 i \sqrt{10}\right)}}+967400\right)}}{45927}.$

Странный какой-то у Вас ответ, сразу куча значений для одного интеграла.. Ну это как я понимаю корни из комплексных чисел