Найти объем параллелепипеда

[dima_1985]

Задача. Длины базисных векторов $ e_1, e_2, e_3 $ в пространстве равны соответственно $ 1, 2,\sqrt{2} $ а углы между ними равны $ \varphi_1(e_1,e_2) = 120, \varphi_2(e_1 e_3) = 45, \varphi_1(e_2,e_3) = 135 $. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координат $(-1,0,2), (1,1,3), (2,-1,1)$. Мои рассуждения. Нет координат базисных векторов. Можем получить их через матрицу Грама $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -2\\ 1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$. Но базисные вектора не ортогональны. Как сделать их ортогональными? Тогда я смогу пересчитать вектора в ортогональном базисе и найти смешанное произведение векторов. Спасибо.

[svv]

dima_1985 в сообщении #1288996 писал(а):

Но базисные вектора не ортогональны. Как сделать их ортогональными? Тогда я смогу пересчитать вектора в ортогональном базисе и найти смешанное произведение векторов.

Ни-ни-ни. Всё разработано для общего случая.

Обозначим через $G$ матрицу Грама системы векторов $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$,
через $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ векторы, на которых построен параллелепипед,
а через $A$ матрицу, составленную из их координат в базисе $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$:
$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}$

Вопросы:
Какой геометрический смысл имеет $\det G$ ?
Какой геометрический смысл имеет $\det A$ ?

[iifat]

Как вариант: забыть нафиг умные слова («матрица Грама» и т.п.), написать смешанное произведение, подставить, раскрыть скобки...

[dima_1985]

svv в сообщении #1289001 писал(а):

Вопросы:
Какой геометрический смысл имеет $\det G$ ?
Какой геометрический смысл имеет $\det A$ ?

$\det G =V^2 $ объем параллелепипеда
$| \det A| =V $ объем параллелепипеда

iifat в сообщении #1289029 писал(а):

Как вариант: забыть нафиг умные слова («матрица Грама» и т.п.), написать смешанное произведение, подставить, раскрыть скобки..

Вы имели ввиду так $ \begin{bmatrix} -e_1 & 0e_2 & 2e_3\\ e_1&e_2& 3e_3 \\ 2e_1& -e_2&e_3 \end{bmatrix} =-e_1 (e_2e_3+3e_3e_2)+2e_3(e_1(-e_2)-2e_1e_2) = (-e_1,e_2,e_3) + 3(-e_1,e_3,e_2) + 2(e_3,e_1,-e_2)+2(e_3,e_2,-2e_1) $.
Я не знаю как считать такое смешанное произведение? Первая скобка $(-e_1,d) $ где $d = [e_2,e_3]$. Как найти $d$ ?

[svv]

dima_1985, давайте вместо «объём параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$» будем писать $V(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)$.

dima_1985 в сообщении #1289091 писал(а):

$\det G =V^2 $ объем параллелепипеда

Да.
$\det G=(V(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3))^2$

dima_1985 в сообщении #1289091 писал(а):

$| \det A| =V $ объем параллелепипеда

Нет.
$|\det A|=\frac{V(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c)}{V(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)}$
Иными словами, это объём, выраженный в единицах объёма базисного параллелепипеда.

Дальше очевидно.

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1289091 писал(а):

Вы имели ввиду так

Оставляя арифметику на вашей совести — да.

dima_1985 в сообщении #1289091 писал(а):

Я не знаю как считать такое смешанное произведение

Для начала — вспомнить свойства смешанного произведения и упростить. Как можно упростить $(-e_1,e_3,e_2)$? Вторым шагом — ну, как-нибудь. Если и правда забыть про Грама, то, к примеру, взять удобный базис (первый вектор направить вдоль $e_1$, второй в плоскости $e_1,e_2$, третий понятно), выразить в нём вектора и посчитать смешанное произведение.
Как по мне, для изучения линейной алгебры с геометрией этот способ полезнее. Хотя и муторнее, конечно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Особенно поможет смешанное произведение при вычислении пятимерного объёма.

[iifat]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1289316 писал(а):

при вычислении пятимерного объёма

Три, пять, семь... Какая, в сущности, разница? Ну, будет смешанное произведение пяти, семи и более векторов. Основные свойства те же, ну, расширенные слегка. Разобраться как следует с тремя — и даже одиннадцать не напугают
Вот когда дойдём до размерности $n$, не говоря уж об $m$ — да, без матриц никак

[dima_1985]

Я не правильно разложил смешанное произведение надо так $(-e_1+0e_2+2e_3,e_1+e_2+3e_3,2e_1-e_2+e_3)$ после всех упрощений получил $-(e_1,e_2,e_3)+(e_1,3e_3,e_2)-2(e_3,e_1,e_2)+4(e_3,e_2,e_1)=-3(e_1,e_2,e_3)-3(e_1,e_2,e_3)-4(e_1,e_2,e_3)=-10(e_1,e_2,e_3)$.
Дальше я пытался сделать следующее $([e_1,e_2],e_3)=(d,e_3),d=[e_1,e_2]$. Нашел модуль $|d|=2 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $. Как найти угол между $d$ и $e_3$ ? Если найду угол то все хорошо.

[arseniiv]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1289322 писал(а):

Ну, будет смешанное произведение пяти, семи и более векторов.

Такую операцию ведь вроде обычно не вводят. Обходятся внешним произведением и индуцированным с векторного пространства на его внешние степени скалярным произведением, у которых есть применения и по отдельности; притом можно вычислять и $m$-мерные объёмы для $m$ меньше размерности пространства тем же самым образом: $\lVert\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge\mathbf v_m\rVert$.

[alcoholist]

dima_1985 в сообщении #1289523 писал(а):

Нашел модуль

Сам вектор $d$ выразите.

[iifat]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1289526 писал(а):

Такую операцию ведь вроде обычно не вводят

Ну дык есть много способов приготовить кошку. Ни на секунду не воображаю, что знаю наилучший. Рабочий и самый элементарный -- надеюсь.

dima_1985 в сообщении #1289523 писал(а):

Дальше я пытался сделать следующее

iifat в сообщении #1289309 писал(а):

к примеру, взять удобный базис (первый вектор направить вдоль $e_1$, второй в плоскости $e_1,e_2$, третий понятно), выразить в нём вектора и посчитать смешанное произведение.

[Otta]

И почему никто не послушал svv... Его кошка самая вкусная.

[svv]

Спасибо, Otta. Кошка приправлена майонезом фирмы «Оттоги».
iifat (и, возможно, из присутствующих только он) знает, что это такое, так что — пальчики оближешь.

[dima_1985]

svv в сообщении #1289112 писал(а):

Дальше очевидно.

Я посчитал сразу. Наверное надо было и сразу написать. Получил $\frac{10}{\sqrt{2}}$. Но в методе svv не понятно как все работает. Почему надо брать корень из определителя? Подход iifat показывает суть всего происходящего. Задачу проще решать методом svv, но хочется понять почему это так.
Пытался взять удобный базис $(e_1',e_2',e_3'),e_1 = e_1'$ посчитал проекции векторов $(e_1,e_2,e_3)$ на $e_1'=(1,-\sqrt{3},1)$, на $e_2'=(0,-\sqrt{3},-1)$ , а $e_3'$ взял как $e_3'=[e_1',e_2']$ получил следующую матрицу
$\begin{pmatrix} &e_1&e_2&e_3\\ e_1'&1&-\sqrt{3}&1\\ e_2'&0&-\sqrt{3}&-1\\ e_3'&2\sqrt{3}&1&-\sqrt{3} \end{pmatrix}$. Но, что-то тут не так? Скорее всего вектор $e_2'$?