Найти объем параллелепипеда

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1291111 писал(а):

что-то тут не так?

Ну, эээ, приблизительно всё или около того. По крайней мере, вектора длины 1 я у вас не наблюдаю.
Давайте медленно и печально: напишите, пожалуйста, три координаты вектора $e_1$ в новом базисе.

dima_1985 в сообщении #1291111 писал(а):

Но в методе svv не понятно как все работает. Почему надо брать корень из определителя?

С корнем-то как раз всё просто: значение определителя есть квадрат объёма; потому и надобно извлекать корень. Почему так? Ну, попробуйте доказать для двумерного случая: есть два вектора; докажите, что значением определителя Грама является квадрат площади. Подсказка: это просто. (Для трёх и более я и сам сходу не докажу, потому и не предлагаю)

[svv]

dima_1985 в сообщении #1291111 писал(а):

Получил $\frac{10}{\sqrt{2}}$.

Вы говорите, что попробовали и мой способ. А там получился тот же результат? Перепроверьте, пожалуйста, у меня ответ другой.

[dima_1985]

svv в сообщении #1291278 писал(а):

Вы говорите, что попробовали и мой способ. А там получился тот же результат? Перепроверьте, пожалуйста, у меня ответ другой.

Пока только Ваш и попробовал.Да там $10\sqrt{2}$

[iifat]

iifat в сообщении #1291126 писал(а):

приблизительно всё или около того

Виноват. Забыл, что нам нужны не сами вектора, а их линейные комбинации. Вы решили посчитать сразу их объём?
В общем, если просите проверить, не пропускайте такими здоровенными кусками. Пишите подробно.

[svv]

dima_1985 в сообщении #1291299 писал(а):

Да там $10\sqrt{2}$

Да, теперь правильно.

dima_1985 в сообщении #1291111 писал(а):

Но в методе svv не понятно как все работает. Почему надо брать корень из определителя? Подход iifat показывает суть всего происходящего. Задачу проще решать методом svv, но хочется понять почему это так.

Давайте я расскажу немножко нестрашной теории, в надежде, что всё прояснится и станет на свои места.

Возьмём трёхмерное евклидово пространство $\mathbb E^3$, хотя всё легко обобщается и на случай $\mathbb E^n$. Пусть есть линейно независимая система векторов $(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf a_3)$ и другая система векторов $(\mathbf b_1, \mathbf b_2, \mathbf b_3)$. Между ними есть связь: $\mathbf b_k=\mathbf a_i p_{ik}$ (по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование), то есть
$\begin{array}{l}\mathbf b_1=\mathbf a_1 p_{11}+\mathbf a_2 p_{21}+\mathbf a_3 p_{31}\\\mathbf b_2=\mathbf a_1 p_{12}+\mathbf a_2 p_{22}+\mathbf a_3 p_{32}\\\mathbf b_3=\mathbf a_1 p_{13}+\mathbf a_2 p_{23}+\mathbf a_3 p_{33}\end{array}$

Коэффициенты $p_{ik}$ образуют матрицу перехода от системы $(\mathbf a_i)$ к системе $(\mathbf b_k)$.
$P=\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{bmatrix}$
Обратите внимание, что элементы, стоявшие в формулах перехода в одной строке, в матрице выстроились в столбик; так принято.

Напомню, что объём параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf a_3$, мы обозначаем $V(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf a_3)$. Справедливо утверждение (его обоснованием сейчас не будем заниматься):
$\bullet$ Если $P$ — матрица перехода от $(\mathbf a_i)$ к $(\mathbf b_k)$, то $V(\mathbf b_1, \mathbf b_2, \mathbf b_3)=V(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf a_3)\,|\det P|$.
Матрица перехода связывает две системы векторов, а её определитель связывает два разных объёма.

Наоборот, матрица Грама составляется из попарных скалярных произведений векторов одной системы. Выясним, какое отношение она имеет к объёмам.
Обозначим матрицу Грама системы $(\mathbf a_i)$ через $G$ с элементами $g_{ij}=(\mathbf a_i, \mathbf a_j)$,
а матрицу Грама системы $(\mathbf b_k)$ через $\tilde G$ с элементами $\tilde g_{k\ell}=(\mathbf b_k, \mathbf b_\ell)$.
Следующий шаг Ваш. Попробуйте доказать, что
$\bullet$ $\tilde G=P^T G P$, то есть $\tilde g_{k\ell}=p_{ik}\,g_{ij}\,p_{j\ell}$

[dima_1985]

iifat в сообщении #1291300 писал(а):

Вы решили посчитать сразу их объём?

Да решил )

iifat в сообщении #1291126 писал(а):

Давайте медленно и печально: напишите, пожалуйста, три координаты вектора $e_1$ в новом базисе.

. Если новый базис $(e_1',e_2',e_3')$ ортонормированный, то координаты $e_1(1,0,0)$ ? Я тут картинку нарисовал

Вот моё представление всего происходящего. Исходя из данной картинки можно выразить вектора. Вот что получилось $e_2(-2\cos(60);2\sin(30);2\sin(45))$ и $e_3(\sqrt{2}\cos(45);\sqrt{2}\sin(45);\sqrt{2}\sin(45))$.

[iifat]

Скоко-скоко у вас, судя по рисунку, угол между $e_1'$ и $e_2'$?
И сколько у вас длина

dima_1985 в сообщении #1291623 писал(а):

$e_2(-2\cos(60);2\sin(30);2\sin(45))$

И если вы и правда решили

iifat в сообщении #1289309 писал(а):

второй в плоскости $e_1,e_2$

, то назовите сходу, как вы любите, третью координату $e_2$ в этом базисе.

[dima_1985]

iifat в сообщении #1291639 писал(а):

Скоко-скоко у вас, судя по рисунку, угол между $e_1'$ и $e_2'$?

$90$ градусов. У нас $(e_1',e_2',e_3')$ ортонормированный. Я наверно не правильно написал? Должно быть $\cos(\varphi)$ (проекция).

iifat в сообщении #1291639 писал(а):

И сколько у вас длина

$e_2(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$. И $e_3(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$. Если посчитать смешанное произведение получим $\frac{1}{2}$?

[iifat]

Длины опять не те. Все длины 1, а в задаче они разные.
Углы какие-то не те, по-моему (кроме первого).
Ещё раз: если хотите получить дельный совет, не пишите ответы, даже промежуточные. Пишите ре-ше-ни-е. Или вы угадать пытаетесь?

[dima_1985]

iifat в сообщении #1291755 писал(а):

Углы какие-то не те, по-моему (кроме первого).

Первый это $e_1'$? Как я рассуждал про углы.1) $e_1'=e_1$ 2) $e_2'$ выбрал перпендикулярно $e_1'$, потом отложил от $e_1'$ два вектора $e_2,e_3$ можно увидеть на картинке один. Исходя из этого можем заполнить некоторые координаты $e_2(-2\cos(60),2\cos(30),...),e_3(\sqrt{2}\cos(45),\sqrt{2}\cos(45),...)$. Дальше посмотрим на картинку .
Сразу определим проекцию $e_2$ на $e_3'$ получим $e_2(-2\cos(60),2\cos(30),0)$ и $e_3$ на $e_3'$ получим $e_3(\sqrt{2}\cos(45),\sqrt{2}\cos(45),\sqrt{2}\cos(45))$. Вот так определил углы. Не правильно ?

iifat в сообщении #1291755 писал(а):

Длины опять не те. Все длины 1, а в задаче они разные.

Нужно соблюдать то, что длина оставалась прежней ?Если да? Без изменений $|e_2|=\sqrt{1+3}=2$. Длина вектора $e_3$ изменилась $|e_3|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ нормируем его и получим $e_3(\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}})$. Получили след. вектора $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1&\sqrt{3} & 0\\ \sqrt{\frac{2}{3}} & \sqrt{\frac{2}{3}} &\sqrt{\frac{2}{3}} \end{pmatrix}$. Посчитал определитель получил $\sqrt{2}$

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1291763 писал(а):

1) $e_1'=e_1$

Да. Это верно.

dima_1985 в сообщении #1291763 писал(а):

$e_2'$ выбрал перпендикулярно $e_1'$

А вот тут уже пропущена важная деталь: $e_2'$ выбираем перпендикулярно $e_1'$ в плоскости $e_1,e_2$. Это важно. Соответственно, рисуем на картинке $e_2$ и только его!

dima_1985 в сообщении #1291763 писал(а):

Нужно соблюдать то, что длина оставалась прежней?

Что значит -- осталась прежней? Мы выражаем вектор в другом базисе -- тут не то что "изменилась" немыслимо, но даже и "осталась прежней" как-то неуместно.

dima_1985 в сообщении #1291763 писал(а):

Сразу определим проекцию ... $e_3$ на $e_3'$ получим

Вот тут уже категорически непонятно. И ваши рисунки не имеют отношения к делу -- вектор не лежит ни в какой из координатных плоскостей. Тут уж принципиально трёхмерная задача. Вспоминайте, что известно про $e_3$

[dima_1985]

iifat в сообщении #1291765 писал(а):

А вот тут уже пропущена важная деталь: $e_2'$ выбираем перпендикулярно $e_1'$ в плоскости $e_1,e_2$. Это важно. Соответственно, рисуем на картинке $e_2$ и только его!

А можно рассмотреть три координатных плоскости? $e_1',e_3'$

$e_2',e_1'$

и $e_2',e_3'$

Я напутал с проекцией вектора $e_3$ на $e_2'$. Вектора примут след вид.
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -1&\sqrt{3} & 0\\ \sqrt{\frac{2}{3}} & -\sqrt{\frac{2}{3}} &\sqrt{\frac{2}{3}} \end{pmatrix}$
Я не знаю принято ли рисовать такие рисунки ?Я пробовал рисовать трехмерные картинки, но в них гораздо проще путаюсь.

[iifat]

dima_1985 в сообщении #1291851 писал(а):

А можно рассмотреть три координатных плоскости?

Ещё раз: вектор $e_3$ не лежит ни в какой координатной плоскости. Это вектор, вообще говоря, общего положения. Увы, рисунки кончились , пора переходить к уравнениям. У нас три неизвестных координаты вектора; что нам про них известно?

[dima_1985]

iifat в сообщении #1291929 писал(а):

Увы, рисунки кончились ,

Жаль !). Наверно надо написать след. систему
$\left\{ \begin{array}{rcl} x &=&1\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&\sqrt{2} \\ -x+\sqrt{3}y&=&-2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right.$
Первое уравнение скалярное произведение $(e_1,e_3)$. Второе длина. Третье скалярное произведение $(e_2,e_3)$. Решив получим $e_3(1,\pm{\sqrt{\frac{1}{3}}},\sqrt{\frac{2}{3}})$

[iifat]

Именно. Ничего особо жуткого не вижу. Арифметику не проверял, но рассуждения именно такие.