2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 произведение объектов в конкретной категории
Сообщение31.01.2018, 21:41 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
«Структура», конечно, понятие расплывчатое, поэтому я возьму конкретные примеры: алгебраические структуры и топологическое пространство. Как мне кажется, произведение этих структур строится по одной схеме, которую можно формализовать с помощью теории категорий, а именно, понятия конструкт (construct), которое есть частный случай понятия конкретная категория (concrete category). (Обозначения и определения взяты из книги в конце поста.)

Определение. Пусть $\mathrm{\mathbf{X}}$ есть категория. Конкретная категория над $\mathrm{\mathbf{X}}$ есть пара $(\mathrm{\mathbf{A}}, U)$, где $\mathrm{\mathbf{A}}$ есть категория и $U:\mathrm{\mathbf{A}}\to\mathrm{\mathbf{X}}$ есть строгий функтор. Конкретная категория над $\mathrm{\mathbf{Set}}$ называется конструктом. Для объектов $A$ и $B$ категории $\mathrm{\mathbf{A}}$ будем говорить, что морфизм $g: U(A)\to U(B)$ есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизм типа $A\to B$, если существует морфизм $f: A\to B$ такой, что $g=U(f)$.

В моих примерах $\mathrm{\mathbf{A}}$ есть категория алгебраических структур или топологических пространств, $\mathrm{\mathbf{X}}$ есть $\mathrm{\mathbf{Set}}$, $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизм есть гомоморфизм или непрерывная функция соответственно.

Пусть $\bar{A}$ есть семейство объектов $\mathrm{\mathbf{A}}$. (То есть $\bar{A}$ есть функция, которая возвращает объект категории $\mathrm{\mathbf{A}}$.) Я полагаю, что, чтобы построить произведение $\bar{A}$, достаточно построить объект $A$ (алгебраическую структуру или топологическое пространство соответственно) такой, что $U(A)$ есть произведение $U\circ\bar{A}$, и доказать, что проекции есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизмы и произведение $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизмов есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизм. Не упустил ли я чего? Где об этом можно почитать? Я ожидал, что это будет в учебнике, полистал разделы «Concrete categories and concrete functors» (страница 61) и «Limits and colimits» (страница 193), но не нашёл ничего похожего.

Adámek, Jiří, Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. FG KatMAT. University of Bremen, 12 Jan. 2004. Web. 29 Jan. 2018.

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение31.01.2018, 21:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так ведь произведения бесконечного множества объектов строятся точно так же как и конечного. Вот если нужна прямая сумма, всё сложнее (я открыл статью в nLab и ничего не понял кроме того, что у неё два обобщения, иногда не совпадающие).

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение01.02.2018, 07:36 
Аватара пользователя


22/08/15
20
Но ведь конкретная категория может быть очень маленькой, разве нет? В ней может просто не иметься прообразов для универсальных set-стрелок. Например, рассмотрим вот такую категорию J с четырьмя объектами и четырьмя неединичными морфизмами.

Изображение

В этой категории есть два конуса с вершинами в C и в D.
Ни один из конусов не является универсальным, как легко видеть.

Построим функтор U из J в Set:
объекты A и B отправим в какие-нибудь различные множества a и b,
объект C отправим в прямое произведение a на b,
объект D отправим в какое-нибудь другое множество,
стрелки из C отправим в канонические проекции,
стрелки из D - просто в какие-нибудь две функции.

Вроде как получится конструкт.
Объект C обладает всеми требуемыми свойствами, но не является произведением, т.к. не обладает универсальным свойством - в J нужной универсальной стрелки нет.

Я ничего не перепутал?

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение03.02.2018, 16:05 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
arseniiv в сообщении #1288975 писал(а):
Так ведь произведения бесконечного множества объектов строятся точно так же как и конечного.

Ну, я нигде не писал, что произведение конечно. По-моему, это не существенно в данном случае.

Chanzaa в сообщении #1289036 писал(а):
Объект C обладает всеми требуемыми свойствами, но не является произведением, т.к. не обладает универсальным свойством - в J нужной универсальной стрелки нет.

Я ничего не перепутал?

Обозначим морфизмы в вашем примере: $f: U(D)\to U(A)$ есть $\mathrm{\mathbf{J}}$-морфизм типа $D\to A$, $g: U(D)\to U(B)$ есть $\mathrm{\mathbf{J}}$-морфизм типа $D\to B$. Произведение $f$ и $g$ существует и имеет тип $U(D)\to U(C)$, но не является $\mathrm{\mathbf{J}}$-морфизмом типа $D\to C$ согласно определению $\mathrm{\mathbf{J}}$. Следующее требование вы упустили из виду в вашем примере:
beroal в сообщении #1288973 писал(а):
доказать, что… произведение $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизмов есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизм

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение03.02.2018, 18:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
beroal в сообщении #1289749 писал(а):
Ну, я нигде не писал, что произведение конечно.
Да уж, мне надо было подумать перед тем как писать не о том, извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение04.02.2018, 01:49 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Это неверно в общем случае. Носитель произведения может быть не равен произведению носителей. Он равен для произведений групп, колец и любых других алгебраических систем, заданных аксиомами вида "равенство двух термов" (тождествами, таковы аксиомы ассоциативности, дистрибутивности и т.д.). Потому что в этом случае стирающий функтор имеет левый сопряжённый (выдающий по множеству свободную группу, кольцо и т.п.) и потому сохраняет произвдения (правый сопряжённый функтор всегда их сохраняет). Для более сложных алгебраических систем (каких-нибудь "групп без кручения") произведение может быть устроено сложнее, "наивное"произведение может быть "с кручением" и его надо как-то поправлять. Посмотрите в мат.энциклопедии статью "алгебраическая система".

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение04.02.2018, 09:21 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
george66 в сообщении #1289996 писал(а):
Это неверно в общем случае.

Начнём с этого: что именно не верно? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение04.02.2018, 17:48 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Я понял вопрос так: чтобы построить произведение семейства объектов, необходимо и достаточно построить произведение их множеств-носителей и задать на нём подходящую структуру. Если строим произведение групп, берём произведение их множеств-носителей и на нём задаём структуру группы. Так вот, в общем случае носитель произведения не является произведением носителей. Для групп это так, потому что существуют свободные группы (и у стирающего функтора есть левый сопряжённый).

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение11.02.2018, 19:59 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
george66 в сообщении #1290101 писал(а):
Я понял вопрос так: чтобы построить произведение семейства объектов, необходимо и достаточно построить произведение их множеств-носителей и задать на нём подходящую структуру.

Видимо, в ваших контрпримерах не возможно задать подходящую структуру, вот и всё. Такую, какую я описал ниже.
beroal в сообщении #1288973 писал(а):
Я полагаю, что, чтобы построить произведение $\bar{A}$, достаточно построить объект $A$ (алгебраическую структуру или топологическое пространство соответственно) такой, что $U(A)$ есть произведение $U\circ\bar{A}$, и доказать, что проекции есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизмы и произведение $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизмов есть $\mathrm{\mathbf{A}}$-морфизм.

Речь не только об алгебраических структурах. Я не знаю, как оформить топологическое пространство в виде алгебраической структуры. Насколько я понимаю, фрейм не является полным аналогом топологического пространства. Поэтому и нужна теория категорий.

-- Sun Feb 11, 2018 20:51:58 --

george66 в сообщении #1289996 писал(а):
Для более сложных алгебраических систем (каких-нибудь "групп без кручения") произведение может быть устроено сложнее, "наивное"произведение может быть "с кручением" и его надо как-то поправлять.

А что это за контрпримеры? «Кручение» — это из алгебраической топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение11.02.2018, 21:28 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Не помню, я не алгебраист. Берутся группы, в которых то ли все элементы конечного порядка, то ли что-то в этом роде. Их произведение как групп может таким свойством не обладать, из него надо выбрать часть, состоящую из правильных элементов, она и будет произведением. Посмотрите в мат энциклопедии статью "произведение", там есть примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение13.02.2018, 00:17 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Вот пример в соседней теме
topic124801.html

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение13.02.2018, 20:35 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
george66 в сообщении #1291882 писал(а):
Посмотрите в мат энциклопедии

Я же не знаю, какую энциклопедию вы имеете в виду. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: произведение объектов в конкретной категории
Сообщение13.02.2018, 20:51 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Наберите "математическая энциклопедия"
http://gen.lib.rus.ec/

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: epros, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group