2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Группа порядка p^n
Сообщение13.03.2008, 09:41 
Аватара пользователя


19/08/07
113
Краснодар
Как доказать, что в группе порядка $p^n$, (p-простое) существуют подгруппы порядка $p^i$ для всех i от 1 до n.? :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Используйте первую теорему Силова, которая должна быть в любом порядочном учебнике по теории групп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 13:07 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP писал(а):
Используйте первую теорему Силова, которая должна быть в любом порядочном учебнике по теории групп.


Что-то я не понял. По теореме Силова в группе порядка $p^n$ существует подгруппа порядка $p^n$, совпадающая с самой этой группой. Но это и так очевидно. А что дальше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
У нас первая теорема Силова формулировалась так:
Если $p^n$ делит порядок группы $G$, то найдётся подгруппа $H\subset G$ порядка $p^n$.

Добавлено спустя 36 секунд:

А существование силовской подгруппы получалось как следствие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 13:21 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Я всё это изучал по книге С. Ленга. Там дело обстоит следующим образом.

С. Ленг писал(а):
Пусть $p$ --- простое число. Под $p$-группой мы понимаем конечную группу, порядок которой является степенью $p$ (т. е. равен $p^n$ для некоторого целого $n \geqslant 0$). Пусть $G$ --- конечная группа и $H$ --- её подгруппа. Мы называем $H$ $p$-подгруппой в $G$, если $H$ --- $p$-группа. Мы называем $H$ силовской $p$-подгруппой, если порядок $H$ есть $p^n$ и если $p^n$ --- наибольшая степень $p$, делящая порядок $G$. Ниже мы увидим, что такие подгруппы всегда существуют...

...

Теорема 1. Пусть $G$ --- конечная группа и $p$ --- простое число, делящее её порядок. Тогда в $G$ существует силовская $p$-подгруппа.


Насколько я понимаю, процитированная теорема и есть первая теорема Силова.

Кстати, из неё и из утверждения, которое просит доказать автор темы, легко следует теорема Силова в формулировке RIP :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Док-во Ленга дословно переносится на мою формулировку.

Мораль: надо знать не только формулировки, но и доказательства. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 14:15 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP писал(а):
Док-во Ленга дословно переносится на мою формулировку.

Мораль: надо знать не только формулировки, но и доказательства. :D


Будете смеятся, но я это доказательство ещё в школе читал. Это было 20 лет назад! Так что не помнить его в моём случае вполне простительно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Да я Вас ни в чём и не упрекаю. Думаете, я помню это доказательство? :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 22:19 
Аватара пользователя


19/08/07
113
Краснодар
RIP писал(а):
У нас первая теорема Силова формулировалась так:
Если $p^n$ делит порядок группы $G$, то найдётся подгруппа $H\subset G$ порядка $p^n$.
Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$ ?

И вообще может данное утверждение не верно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
enko писал(а):
Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$
Меньшая степень простого числа всегда делит бОльшую степень того же числа. По-моему, это проходят в 7-м классе :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 22:27 
Аватара пользователя


19/08/07
113
Краснодар
Brukvalub писал(а):
enko писал(а):
Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$
Меньшая степень простого числа всегда делит бОльшую степень того же числа. По-моему, это проходят в 7-м классе :shock:
Ну делит и что дальше? :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Я думаю, что enko просто не понял, что $n$ в моей формулировке не имеет никакого отношения к $n$ из его формулировки (сначала хотел использовать другую букву, но передумал).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 23:42 
Аватара пользователя


23/09/07
364
А я вот тоже не втыкаю. Пусть $G$ - группа из $p^n$ элементов. Тогда по первой теореме Силова, в $G$ существует силовская $p$-подгруппа $H$. Силовская $p$-подгруппа - это группа, в которой $p^k$ элементов и $p^k$ - наибольшая степень, делящая $p^n$. То есть, $k=n$. Итого: в группе из $p^n$ элементов есть подгруппа из $p^n$ элементов. Содержательное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.03.2008, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Echo-Off
Прочитайте внимательно, что было до Вас. Я уже приводил ту формулировку первой теоремы Силова, которую я имел в виду.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Кроме того, я же не писал "используйте формулировку первой теоремы Силова". :wink: :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2008, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вот туточки: http://www.allmath.ru/highermath/algebra/diskret-dubna/L6.html есть в точности нужная для док-ва формулировка т. Силова (та, которую приводил выше RIP).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group