Группа порядка p^n

[enko]

Как доказать, что в группе порядка $p^n$, (p-простое) существуют подгруппы порядка $p^i$ для всех i от 1 до n.?

[RIP]

Используйте первую теорему Силова, которая должна быть в любом порядочном учебнике по теории групп.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Используйте первую теорему Силова, которая должна быть в любом порядочном учебнике по теории групп.

Что-то я не понял. По теореме Силова в группе порядка $p^n$ существует подгруппа порядка $p^n$, совпадающая с самой этой группой. Но это и так очевидно. А что дальше?

[RIP]

У нас первая теорема Силова формулировалась так:
Если $p^n$ делит порядок группы $G$, то найдётся подгруппа $H\subset G$ порядка $p^n$.

Добавлено спустя 36 секунд:

А существование силовской подгруппы получалось как следствие.

[Профессор Снэйп]

Я всё это изучал по книге С. Ленга. Там дело обстоит следующим образом.

С. Ленг писал(а):

Пусть $p$ --- простое число. Под $p$-группой мы понимаем конечную группу, порядок которой является степенью $p$ (т. е. равен $p^n$ для некоторого целого $n \geqslant 0$). Пусть $G$ --- конечная группа и $H$ --- её подгруппа. Мы называем $H$ $p$-подгруппой в $G$, если $H$ --- $p$-группа. Мы называем $H$ силовской $p$-подгруппой, если порядок $H$ есть $p^n$ и если $p^n$ --- наибольшая степень $p$, делящая порядок $G$. Ниже мы увидим, что такие подгруппы всегда существуют...

...

Теорема 1. Пусть $G$ --- конечная группа и $p$ --- простое число, делящее её порядок. Тогда в $G$ существует силовская $p$-подгруппа.

Насколько я понимаю, процитированная теорема и есть первая теорема Силова.

Кстати, из неё и из утверждения, которое просит доказать автор темы, легко следует теорема Силова в формулировке RIP

[RIP]

Док-во Ленга дословно переносится на мою формулировку.

Мораль: надо знать не только формулировки, но и доказательства.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Док-во Ленга дословно переносится на мою формулировку.

Мораль: надо знать не только формулировки, но и доказательства.

Будете смеятся, но я это доказательство ещё в школе читал. Это было 20 лет назад! Так что не помнить его в моём случае вполне простительно.

[RIP]

Да я Вас ни в чём и не упрекаю. Думаете, я помню это доказательство?

[enko]

RIP писал(а):

У нас первая теорема Силова формулировалась так:
Если $p^n$ делит порядок группы $G$, то найдётся подгруппа $H\subset G$ порядка $p^n$.

Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$ ?

И вообще может данное утверждение не верно?

[Brukvalub]

enko писал(а):

Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$

Меньшая степень простого числа всегда делит бОльшую степень того же числа. По-моему, это проходят в 7-м классе

[enko]

Brukvalub писал(а):

enko писал(а):

Как из этого следует существование групп порядка $p^i$ , $i=1..n$

Меньшая степень простого числа всегда делит бОльшую степень того же числа. По-моему, это проходят в 7-м классе

Ну делит и что дальше?

[RIP]

Я думаю, что enko просто не понял, что $n$ в моей формулировке не имеет никакого отношения к $n$ из его формулировки (сначала хотел использовать другую букву, но передумал).

[Echo-Off]

А я вот тоже не втыкаю. Пусть $G$ - группа из $p^n$ элементов. Тогда по первой теореме Силова, в $G$ существует силовская $p$-подгруппа $H$. Силовская $p$-подгруппа - это группа, в которой $p^k$ элементов и $p^k$ - наибольшая степень, делящая $p^n$. То есть, $k=n$. Итого: в группе из $p^n$ элементов есть подгруппа из $p^n$ элементов. Содержательное утверждение.

[RIP]

Echo-Off
Прочитайте внимательно, что было до Вас. Я уже приводил ту формулировку первой теоремы Силова, которую я имел в виду.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Кроме того, я же не писал "используйте формулировку первой теоремы Силова".

[Brukvalub]

Вот туточки: http://www.allmath.ru/highermath/algebra/diskret-dubna/L6.html есть в точности нужная для док-ва формулировка т. Силова (та, которую приводил выше RIP).