Правильно ли я понимаю поле?

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1297903 писал(а):

Зачем «чисел, описывающих вектор»? Математика прекрасно работает и с самими векторами

Но разве вектор это не N-мерная стрелка? Которая однозначно описывается только N количеством чисел?

-- 17.03.2018, 09:49 --

arseniiv в сообщении #1297903 писал(а):

Сложности начинаются позже: когда в каждой точке своё собственное пространство, из которого берутся векторы и прочее, что в неё втыкается, а не одно единственное на все точки

Это как (в каждой точке свое собственное пространство)? Вы не могли бы привести какие-либо наглядные примеры, которые бы позволили облегчить мне понимание сути процитированного?

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1297904 писал(а):

Но разве вектор это не N-мерная стрелка? Которая однозначно описывается только N количеством чисел?

Вектор описывается набором координат только когда задан базис или когда мы изначально рассматриваем координатное пространство $\mathbb R^n$ (там один из базисов выделен, так что, считай, задан). В разных базисах один и тот же набор координат в общем случае обозначает разные векторы; один и тот же вектор в разных базисах в общем случае имеет разные наборы координат. Не нужно говорить о координатах, пока без них можно обойтись.

-- Сб мар 17, 2018 12:04:31 --

granit201z в сообщении #1297904 писал(а):

Это как (в каждой точке свое собственное пространство)? Вы не могли бы привести какие-либо наглядные примеры, которые бы позволили облегчить мне понимание сути процитированного?

Думаю, пока вам стоит разобраться с более простым случаем. Но если сильно хочется, можете посмотреть на сферу. В каждой точке у неё есть касательная плоскость, которую можно считать векторным пространством (вы должны понимать, почему — если нет, это знак, что линейная алгебра вас ждёт). Если каждой точке сферы поставить в соответствие вектор из соответствующей касательной плоскости, получится векторное поле на сфере. Касательные плоскости сферы нельзя натуральным образом отождествить (опять же, вы должны иметь представление, почему; дальше будет только хуже).

Тут сферу вы наверняка воспринимали вложенной в какое-то евклидово аффинное* пространство (скорее всего, трёхмерное), и касательные плоскости как его плоскости. Пара таких плоскостей может пересекаться, но смысла у этого пересечения нет. Сфера и её касательное расслоение (весь этот набор касательных плоскостей) могут быть описаны без привлечения объемлющего пространства (касательные векторы будут определяться с помощью кривых на ней и т. д., сейчас об этом говорить ещё рано), и там различие касательных плоскостей в разных точках будет ещё понятнее.

* Так же вы должны понимать, что такое «евклидово аффинное», и почему тут два слова. Это всё ещё линейная алгебра.

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1297905 писал(а):

Не нужно говорить о координатах, пока без них можно обойтись.

Я по роду деятельности большую часть времени работаю с автокадом и поэтому лучше усваиваю информацию, когда ее можно графически представить. В общем-то про вектор я Вас понял:

Цитата:

В разных базисах один и тот же набор координат в общем случае обозначает разные векторы; один и тот же вектор в разных базисах в общем случае имеет разные наборы координат

А вот это все-равно пока не пойму никак:

Цитата:

когда в каждой точке своё собственное пространство, из которого берутся векторы и прочее, что в неё втыкается, а не одно единственное на все точки

[arseniiv]

Про это пример со сферой.

[Dragon27]

granit201z в сообщении #1297904 писал(а):

Это как (в каждой точке свое собственное пространство)?

Мы исходим из того, что векторное поле "это когда" каждой точке сопоставлен какой-то вектор. Но ведь вектор - это не просто один вектор сам по себе, а элемент векторного пространства. Значит у нас для каждой точки существует целое векторное пространство, из которого, собственно, вектор для точки и выбирается. Векторное пространство, разумеется, у каждой точки считается своим собственным, два векторных пространства, принадлежащие двум разным точкам, друг с другом не пересекаются.

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1297905 писал(а):

Касательные плоскости сферы нельзя натуральным образом отождествить (опять же, вы должны иметь представление, почему; дальше будет только хуже).

Тут, возможно воображение меня несколько в сторону уводит и подводит, но почему нельзя? Если сферу проколоть (так сказать пожертвовать одной точкой) в одной точке, то ее можно будет "натянуть" на обычную плоскость XOY. Наверняка для такого "натяжения" найдется уравнение, связывающее любую точку сферы с любой точкой XOY. И тогда получится эквивалентная (но в эквивалентности я не уверен) картинка, когда все векторы лежат в одной и той же плоскости XOY. А следующим этапом обратно "натягиваем" полученное на сферу - и вообще получаются "искривленные векторы" не выходящие в объемлющее 3-х мерное пространство.

В принципе, я отдаю себе отчет, что это, наверное, я какой-то бред сморозил.

[warlock66613]

granit201z в сообщении #1297916 писал(а):

и вообще получаются "искривленные векторы"

Для таких "векторов" не будут выполняться аксиомы векторного пространства.

granit201z в сообщении #1297916 писал(а):

Если сферу проколоть

То получиться уже не сфера.