Об одной чрезвычайно быстро растущей функции T(x)

Rusit8800 · 15/11/15 1297 Москва

Определим функцию $T(x)$ рекуррентным соотношением для $\[a \geqslant 0\]$ :
$\[\begin{gathered} {x_1} = a \hfill \\ {x_{n + 1}} = {a^{{x_n}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$
Тогда
$\[T(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}\]$
Из-за ее чрезвычайно быстрого роста, мне казалось, что если $\[a > 1\]$ , то $\[T(a) = \infty \]$ . Однако я узнал, что $\[T\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\]$ . Поэтому, я заинтересовался вопросом поиска минимального $a$ , такого, что $\[T(a) = \infty \]$ .
Все что я смог сделать сам, это написать программу в Pascal, которая говорит, что если $a=1.44$ , то
$\[{x_{99999999}} \approx 2.39381174820294\]$ и что если $a=1.45$ , то программа выдает $\[\infty \]$ .

Sender · 14/01/11 2918

Что-то мне подсказывает, что должно получиться что-то вроде $e^\frac{1}{e}$ . :-)

Rusit8800 · 15/11/15 1297 Москва

Sender в сообщении #1283317 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что должно получиться что-то вроде $e^\frac{1}{e}$ . :-)

А как вы это сделали?

Sender · 14/01/11 2918

Rusit8800 в сообщении #1283315 писал(а):

$\[\begin{gathered} {x_{n + 1}} = {a^{{x_n}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Попробуйте отыскать предел обеих частей этого равенства при $n \rightarrow \infty$ .

Dmitriy40 · 20/08/14 11177 Россия, Москва

Вычисление (на PARI/GP быстренько сварганил программку подбора методом деления интервала пополам с ограничением глубины вычислений) показывает что порог немногим меньше $1{,}4446678620588$ . Вольфрам в формулу преобразовать не может, либо я чуть ошибся и число равно $e^{1/e}$ (что скорее всего).

Rusit8800 · 15/11/15 1297 Москва

Sender в сообщении #1283324 писал(а):

Попробуйте отыскать предел обеих частей этого равенства при $n \rightarrow \infty$ .

Но это равенство не задано в явном виде. Это по сути условное обозначение. Как тут искать предел?

Pphantom · 09/05/12 25179

Dmitriy40 в сообщении #1283325 писал(а):

Вычисление показывает что порог немногим меньше $1{,}4446678620588$ .

Судя по месту, в котором появляется разница, это просто результат возведения в степень с машинной погрешностью.

Dmitriy40 · 20/08/14 11177 Россия, Москва

(Оффтоп)

Pphantom
Вряд ли, PARI/GP использует минимум 38-ми циферную арифметику, да к тому же можно и ещё увеличить точность. Скорее всего это из-за ограничения количества возведений в степень (ставил не более ста тысяч раз, вот и не хватало).

Geen · 01/09/13 4319

Rusit8800 в сообщении #1283330 писал(а):

Sender в сообщении #1283324 писал(а):

Попробуйте отыскать предел обеих частей этого равенства при $n \rightarrow \infty$ .

Но это равенство не задано в явном виде. Это по сути условное обозначение. Как тут искать предел?

Тогда найдите условие, что графики функций $y=a^x$ и $y=x$ пересекаются...

Pphantom · 09/05/12 25179

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1283333 писал(а):

Вряд ли, PARI/GP использует минимум 38-ми циферную арифметику, да к тому же можно и ещё увеличить точность. Скорее всего это из-за ограничения количества возведений в степень (ставил не более ста тысяч раз, вот и не хватало).

Ну тогда, наверное, так, хотя внешне удачно совпало.

Rusit8800 в сообщении #1283330 писал(а):

Но это равенство не задано в явном виде. Это по сути условное обозначение. Как тут искать предел?

Можно еще подумать, что будет, если сразу подставить в рекурсивное соотношение $x_\infty$ . Решить полученное уравнение не удастся, но сделать из него необходимые выводы вполне можно.