Линейный оператор

[MestnyBomzh]

Могли бы проверить логику моего решения:

Задача:
Линейный оператор $f$ в $\mathbb{R} ^2$ переводит векторы $a=\binom{3}{-1}, b=\binom{2}{-1}$ в векторы $p=f(a)=\binom{0}{1}, q=f(b)=\binom{1}{2}$. Найти матрицу оператора $f$ в базисе, состоящем из векторов $b,q$
Мое решение:
1) Матрица оператора $f$ равна

$$A = \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$$

2) Эта матрица оператора в базисе из векторов $a,b$. Найдем матрицу перехода из базиса $(a,b)$ в $(b,q)$. Получаем две системы уравнений, одна из которых решается моментально. Матрица перехода:

$$T = \begin{pmatrix} 0& 5 \\ 1&-7 \end{pmatrix}$$

3) По формуле перехода: $A' = T^{-1}\cdot A \cdot T$. Получаю

$$A' = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 17& -94 \\ 1&-7 \end{pmatrix}$$

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #1282221 писал(а):

Эта матрица оператора в базисе из векторов $a,b$.

Нет. Эта матрица в паре базисов $a, b$ и $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

[MestnyBomzh]

Xaositect
Разве? У нас же пространство $\mathbb{R} ^2$, нет? Как в нем может быть больше двух векторов в базисе?

[Xaositect]

В каждом базисе два вектора.
У Вас оператор $f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$, и Вы в левом $\mathbb R^2$ используете базис $a, b$, а в правом $\mathbb R^2$ вы используете векторы из условия, которые даны в стандартном базисе.

[Mikhail_K]

MestnyBomzh в сообщении #1282430 писал(а):

Разве? У нас же пространство $\mathbb{R} ^2$, нет? Как в нем может быть больше двух векторов в базисе?

Речь не о том, что в базисе больше двух векторов, а о том, что, вообще говоря, матрица линейного оператора записывается в паре базисов.
Самый распространённый случай - это когда эти базисы в паре совпадают, и тогда говорят "матрица оператора в таком-то базисе".

А вообще, это был намёк на Вашу ошибку, которая допущена в пункте 1).
Если Вы пишете матрицу оператора в каком-то базисе, то её столбцы должны состоять из координат векторов в этом самом базисе.
У Вас не так; поэтому у Вас и получается "гибрид" двух базисов.

[svv]

А из случаев, когда эти базисы не совпадают, самый распространённый — когда пространства «из» и «в» разные.

[MestnyBomzh]

А, надо записывать полученные вектора через линейную комбинацию базисных?
После решения двух систем у меня получилось:

$$A = \begin{pmatrix} 2& 5 \\ -3&-7 \end{pmatrix}$$

Тогда верно?

[svv]

Это в каком базисе?

[MestnyBomzh]

svv
в базисе $a, b$

[svv]

Правильно. Что теперь будете делать?

[MestnyBomzh]

Отлично, теперь хочу перейти в базис $b, q$. Для этого ищем матрицу перехода (я её уже нашел):

$$T = \begin{pmatrix} 0& 5 \\ 1&-7 \end{pmatrix}$$

По формуле $T^{-1}AT$ получаем:

$$A' = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 0& -5 \\ -7&34 \end{pmatrix}$$

Если вычисления верны, то мне сейчас в голову пришла мысль, что можно было бы сразу раскладывать полученные вектора по базису $b, q$

[svv]

Вот всё правильно — а результат неправильный. Ищите ошибку в вычислениях.

[MestnyBomzh]

Да, конечно же

$$A' = \begin{pmatrix} 0& -1 \\ 1&-5 \end{pmatrix}$$

А моё предположение тоже верно?

-- 09.01.2018, 04:16 --

Я уже эксперементально проверил свое предположение - получилась другая матрица, значит неверно.. А почему так нельзя?

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #1282552 писал(а):

Я уже эксперементально проверил свое предположение - получилась другая матрица, значит неверно.. А почему так нельзя?

Та же штука - надо не только полученные вектора раскладывать по $b, q$, но и исходные тоже брать $b, q$.

[MestnyBomzh]

Да, согласен. Для закрепления могли бы ещё проверить одну задачку на эту же тему:
В линейном пространстве многочленов q=q(x) степени не выше первой задано линейное преобразование $\varphi(q) = q(3x)+q(2x)$. Найдите матрицу $\varphi$ в базисе $(x-1,3x+4)$
Применяю оператор, получаю:
$\varphi(x-1)=-2+5x = \frac{26}{7}(-1+x) + \frac{3}{7}(3x+4)$
$\varphi(3x+4)=8+15x = \frac{36}{7}(-1+x) + \frac{23}{7}(3x+4)$
Итого

$$A = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 26& 36 \\ 3&23 \end{pmatrix}$$