2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение09.01.2018, 15:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, у меня тоже так. Попробуйте ещё таким способом: запишите матрицу $A$ оператора $\varphi$ в базисе $(1,x)$ и дальше, как в предыдущей задаче, $T^{-1}AT$.

В предыдущей задаче лучше искать матрицу $A$ в стандартном базисе — в нём сразу выписывается матрица перехода к $(b, q)$. Возможны и дальнейшие хитрости, позволяющие втрое сократить объём вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение10.01.2018, 00:57 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Тогда в базисе ${1,x}$:
$$A = \begin{pmatrix}
 2& 0 \\
 0&5  
\end{pmatrix}$$

Матрица перехода:
$$T = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}
 -3& 4 \\
 1&1 
\end{pmatrix}$$

Получаем:

$$A' = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}
 26& 12 \\
 9&23 
\end{pmatrix}$$
И как-то это не совпадает с полученным ранее результатом..

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение11.01.2018, 14:50 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
MestnyBomzh в сообщении #1282778 писал(а):
Матрица перехода: $$T = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}-3& 4 \\1&1 \end{pmatrix}$$
Это Вы записали $T^{-1}$.
Напомню, что элемент матрицы перехода, стоящий в $i$-й строке и $k$-м столбце, равен $i$-й координате $k$-го базисного вектора нового базиса в старом базисе. Это можно записать в виде символического матричного равенства:
$$\begin{pmatrix} \tilde{\mathbf e}_1 & \tilde{\mathbf e}_2 &... & \tilde{\mathbf e}_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 &... & \mathbf e_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12}&... & t_{1n}  \\ t_{21} & t_{22}&... & t_{2n}  \\  ...&...&...&... \\t_{n1} & t_{n2}&... & t_{nn} \end{pmatrix},\;\text{или}\;\tilde{\mathbf e}_k=\sum\limits_i \mathbf e_i\,t_{ik}$$В нашем случае $$\begin{pmatrix} x-1&3x+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&4\\1&3\end{pmatrix},$$поэтому $$T=\begin{pmatrix}-1&4\\1&3\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение11.01.2018, 23:15 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, точно, спасибо!

-- 12.01.2018, 00:39 --

svv
Так, только я сейчас подумал как искать в первой задаче преобразование от векторов из стандартного базиса и как-то впал в ступор - у нас же преобразование не задано.. Но я честно выписал на бумажке и получилось вроде так. По условию мы знаем это ($e_1, e_2$ - стандартный базис)
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(3e_1-e_2)&=&e_2 \\
 f(2e_1-e_2)&=&e_1+2e_2 \\
\end{array}
\right.$$
В силу линейности:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 3f(e_1)-f(e_2)&=&e_2 \\
 2f(e_1)-f(e_2)&=&e_1+2e_2 \\
\end{array}
\right.$$

Решаем систему:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f(e_1)&=&-e_1-e_2 \\
f(e_2)&=&-3e_1-4e_2 \\
\end{array}
\right.$$

Итого получаем матрицу (в единичном базисе):

$$A=\begin{pmatrix}-1&-3\\-1&-4\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение12.01.2018, 01:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да. Всё это можно красиво записать в матричных обозначениях. Я только обозначу матрицу оператора $f$ в стандартном базисе через $F$ с элементами $f_{ik}$, чтобы не путать с координатами вектора $a$. А в базисе $(b,q)$ через $F'$ c элементами $f'_{ik}$.
$\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1&q_1\\p_2&q_2\end{pmatrix}$
В стандартном базисе:
$\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}$
Отсюда
$\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}3&2\\-1&-1\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-3\\-1&-4\end{pmatrix}$
Теперь можно было бы найти $F'=S^{-1}FS$, где $S$ — матрица перехода от стандартного базиса к базису $(b, q)$. Но можно и этого не делать.

Во-первых, в базисе $(b, q)$ сами эти векторы имеют координаты соответственно $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. Мы знаем, что оператор переводит $b$ в $q$. Значит,
$\begin{pmatrix}f'_{11}&f'_{12}\\f'_{21}&f'_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
Отсюда сразу получаем $f'_{11}=0, f'_{21}=1$.

Во-вторых, известно, что если $S$ невырождена, то у матриц $F$ и $F'=S^{-1}FS$ совпадают определитель и след (сумма диагональных элементов). У матрицы $F$, которую Вы нашли, определитель и след равны, соответственно, $1$ и $-5$, значит, и у $F'$ тоже:
$\operatorname{det}F'=0f'_{22}-1f'_{12}=1$, откуда $f'_{12}=-1$.
$\operatorname{tr}F'=0+f'_{22}=-5$, откуда $f'_{22}=-5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение12.01.2018, 16:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Хитро, определитель и след вроде обычно проходят позже. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейный оператор
Сообщение13.01.2018, 01:32 
Аватара пользователя


17/10/13
790
Деревня
Да, дейтсвительно хитро, спасибо и за такой способ.
А след и определитель я уже давно проходил, это я просто освежаю память в предверии олимпиады

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group