Формула Иенсена

[StaticZero]

Нужно получить формулу

$$ \dfrac{1}{2 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \ln |f(R e^{i \varphi})| \ \mathrm d \varphi = \ln |f(0)| + \sum \limits_{\text{нули}} \ln \dfrac{R}{|z_k^+|} - \sum \limits_{\text{полюсы}} \ln \dfrac{R}{|z_k^-|}, $$

нули и полюсы лежат внутри круга $|z| \leqslant R$.

Данный интеграл превращаю в комплексный: $\mathrm d \varphi = \dfrac{\mathrm dz}{i z}$,

$$ I = \dfrac{1}{2 i \pi} \oint \limits_C \dfrac{\ln |f(z)|}{z} \ \mathrm dz, \qquad C: \left \lbrace z | |z| = R \right \rbrace, $$

ориентация положительная. Взять этот интеграл пробую по вычетам: особые точки подынтегральной функции - нули и полюсы $f$ и точка ноль. Получаю

$$ \dfrac{1}{2 i \pi} \oint \limits_C \dfrac{\ln |f(z)|}{z} \ \mathrm dz = \ln |f(0)| + \sum \limits_{\text{нули}} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = z_k^+} \dfrac{\ln |f(z)|}{z} + \sum \limits_{\text{полюсы}} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = z_k^-} \dfrac{\ln |f(z)|}{z}. $$

Для определённости дальше пусть $z_0$ — нуль. Если он не однократный, то представим, что он однократный и повторяется в сумме нужное число раз. Напишем $f(z) = (z - z_0) g(z)$, где $g$ --- регулярная функция, $g(z_0) \ne 0$. Если дополнительно $z_0 \ne 0$, то напишем

$$ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = z_0} \dfrac{\ln |f(z)|}{z} = \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = z_0} \dfrac{\ln |z-z_0| + \ln |g(z)|}{z_0} = \dfrac{1}{z_0} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = z_0} \ln |z-z_0| = \dfrac{1}{z_0} \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = 0} \ln |z| = 0. $$

Это не приводит к тому результату, который нужно получить. Для случая $z_0 = 0$ имеем

$$ \mathop{\operatorname{res}}\limits_{z = 0} \dfrac{\ln |f(z)|}{z} = \dfrac{1}{2i \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \dfrac{\ln \varepsilon}{\varepsilon e^{i \varphi}} i \varepsilon e^{i \varphi} \ \mathrm d \varphi = \dfrac{\ln \varepsilon}{2 \pi} 2 \pi = \ln \varepsilon, $$

где интеграл берётся по окружности $|z| = \varepsilon$. Что я делаю не так?

[Markiyan Hirnyk]

Доказательство формулы Иенсена с примененением вычетов изложено в книге У. Хейман, Мероморфные функции, Мир.--М.:1966 на с. 17-20. Книга свободно доступна в Интернете и ее использование не нарушает авторского права.

[StaticZero]

Это учебное задание. За ссылку спасибо, но смотреть пока не буду.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1281056 писал(а):

Взять этот интеграл пробую по вычетам: особые точки подынтегральной функции - нули и полюсы $f$ и точка ноль. Получаю

К каким функциям можно применять теорему о вычетах? Является ли $\frac{\ln |f(z)|}{z}$ такой функцией?

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1281056 писал(а):

Что я делаю не так?

Напрягает вот этот пассаж:

StaticZero в сообщении #1281056 писал(а):

интеграл превращаю в комплексный: $\mathrm d \varphi = \dfrac{\mathrm dz}{i z}$,

$$ I = \dfrac{1}{2 i \pi} \oint \limits_C \dfrac{\ln |f(z)|}{z} \ \mathrm dz, \qquad C: \left \lbrace z | |z| = R \right \rbrace, $$

ориентация положительная. Взять этот интеграл пробую по вычетам

Вычеты бывают, например, у голоморфных функций в изолированных особенностях, а здесь "вычеты" ищутся у "кракозяблика".

[StaticZero]

g______d в сообщении #1281066 писал(а):

каким функциям можно применять теорему о вычетах? Является ли $\frac{\ln |f(z)|}{z}$ такой функцией?

К регулярным в проколотой окрестности. Так казалось, что модуль не регулярный только в нуле..
.

$$\begin{align*} &\lim \limits_{z \to z_0} \dfrac{|z| - |z_0|}{z - z_0} = \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \dfrac{|z_0 + \varepsilon e^{i \varphi}| - |z_0|}{\varepsilon e^{i \varphi}} = \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \dfrac{\sqrt{|z_0|^2 + 2 \varepsilon \operatorname{Re} (z_0 e^{-i\varphi}) + \varepsilon^2} - |z_0|}{\varepsilon e^{i \varphi}} = \\ &=\lim \limits_{\varepsilon \to 0} \dfrac{|z_0| \left(1 + \dfrac{\varepsilon \operatorname{Re} (z_0 e^{-i\varphi})} {|z_0|^2}\right) - |z_0|}{\varepsilon e^{i \varphi}} = \dfrac{\operatorname{Re}(z_0 e^{-i \varphi}) e^{- i\varphi}}{|z_0|} = e^{-i \varphi} \cos (\psi - \varphi), \qquad \psi = \operatorname{Arg} z_0. \end{align*}$$

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1281070 писал(а):

казалось, что модуль не регулярный только в нуле..

Такое может показаться только тому, кто совсем не знает ТФКП, например, не слыхивал о принципе сохранения области....

[g______d]

StaticZero в сообщении #1281070 писал(а):

Так казалось, что модуль не регулярный только в нуле

Ну а вы проверьте, например, условия Коши-Римана для него.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1281074 писал(а):

Ну а вы проверьте, например, условия Коши-Римана для него.

Ну я проверил выше, предел зависит от способа стремления $z \to z_0$. Тогда пойду ещё подумаю.

[DeBill]

StaticZero
Интегрируйте дробь $\frac{f'(z)}{f(z)}$

[StaticZero]

DeBill, ну это будет

$$ \dfrac{1}{2 i \pi} \oint \limits_{\partial D} \dfrac{f'(z) \ \mathrm dz}{f(z)} = N - P, $$

где $N$ --- число нулей, $P$ --- число полюсов $f(z)$ в $D$. Как это поможет?

[Brukvalub]

Мероморфная функция есть отношение двух голоморфных, поэтому достаточно доказать формулу для голоморфной функции. А вот дальше нужно понять, что данный факт не чисто ТФКПшный, нужно привлечь интегральные формулы гладкого анализа, например, какую-нибудь из разновидностей формулы Грина.

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1281084 писал(а):

Как это поможет?

А, ну да....
Но, может, еще по границе круга (с разрезами - от нуля до полюсов, и до нулей, и - обойти их по окружности, да и около нуля - тоже - ну, чтоб выделить однозначную ветвь от $\ln \frac{f(z)}{z}$), да потом взять вещественную часть? Интегралы по разрезам ведь тогда сократятся, да? А интегралы по окружностям - к нулю стремятся. Вроде....

[thething]

StaticZero в сообщении #1281056 писал(а):

особые точки подынтегральной функции - нули и полюсы $f$ и точка ноль

Особая точка только 0. Нули и полюсы $f$ надо исключать из области интегрирования разрезами, обходами по окружностям и т.д. Такое впечатление, что вы не полностью сформулировали условие задачи

[ex-math]

Обычно тут вводят вспомогательную функцию, которая голоморфна в круге и по модулю совпадает с исходной на его границе. Догадаться самому не просто, гуглите функции Бляшке.