2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пуанкаре и Кантор
Сообщение02.01.2018, 04:32 
Аватара пользователя


19/09/17

6
 !  Modest: Оффтоп про Пуанкаре и Кантора отделён от темы "Премия за бесконечность".

Внешняя ссылка с саморекламой удалена.


Заслуженный участник форума Dxdy arseniiv писал 2017-12-31, 14:10
http://dxdy.ru/post1280375.html#p1280375:

Цитата:
«Вон Пуанкаре долгое время приписывали там и сям цитату о болезни, от которой математика излечится…»


При этом он ссылается на статью Jeremy Gray «Did Poincaré Say "Set Theory Is a Disease"?» (1991): https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03024067.
Поскольку Пуанкаре все признают великим математиком, то теперь сторонники Кантора пытаются отрицать, что он находился в оппозиции к канторизму.
Морис Клайн писал («Математика. Утрата определенности», Москва, «Мир», 1984, с.236):

Цитата:
«Анри Пуанкаре называл теорию множеств тяжелой болезнью и считал ее своего рода математической патологией. “Грядущие поколения, – заявил он в 1908 г., – будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились”».
http://moialmanah.blogspot.com/p/21.html, стр.26.


Вот именно эту цитату из Клайна и оспаривает Грей в тех двух страницах статьи, которые доступны бесплатно.
Анри Пуанкаре писал («Наука и метод», 1908, глава II «Будущее математики», раздел «Канторизм»):

Цитата:
«Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах истории математики. Первое из них – канторизм, заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя всё более и более сложные конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum [высший род] и дает определения только per genus proximum et differentiam specificam [через родовое сходство и видовое отличие], как сказали бы схоластики. Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые привели бы в восторг Зенона Элейского и мегарскую школу. И тогда все пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения – и не я один, – что важно вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность наблюдать интересный патологический случай». https://yadi.sk/d/Tths0LOw3Q4tuu, стр. 397–398.


Здесь как раз канторизм и назван «патологическим случаем». Слов про «будущие поколения» здесь нет (и нет их во всей книге «О науке», М., 1990).
Однако отрицательное отношение Пуанкаре к канторизму выражено достаточно ясно. Обоснование, которое он дает, слишком обширно, чтобы его здесь цитировать (но логично).
В другом месте (в книге «Последние мысли», глава V «Математика и логика») Пуанкаре пишет:

Цитата:
«Я никогда не знал математика, большего реалиста в платоновском смысле, чем Эрмит, и, однако, я должен признаться, что я не встречал человека, более непокорного учению Кантора. В этом есть кажущееся противоречие, тем более, что он часто повторял: я антиканторианец, потому что я реалист». https://yadi.sk/d/Tths0LOw3Q4tuu, стр. 615.


Требование «вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов», на современном языке будет означать: «...которые можно определить при помощи какого-нибудь алгоритма».
Пуанкаре в достаточно многих местах показывает, что он «в антиканторианстве» солидарен с Эрмитом (который был его учителем). Завершает он словами:

Цитата:
«Было отмечено много противоречий, и несогласие осталось; никто не был убежден» (там же, стр.616).

 Профиль  
                  
 
 Re: Премия за бесконечность
Сообщение02.01.2018, 04:36 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Канторизм-пуанкаризм.
Кстати, что связывает Кантора и Пуанкаре? Бендиксон! Есть теорема Кантора-Бендиксона, есть теорема Пуанкаре-Бендиксона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение02.01.2018, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Witan в сообщении #1280623 писал(а):
Поскольку Пуанкаре все признают великим математиком, то теперь сторонники Кантора пытаются отрицать, что он находился в оппозиции к канторизму.
Никто ничего не пытается отрицать. Речь шла исключительно о том, что Морис Клайн приписал Пуанкаре слова, которые тот не говорил: "процитированный" Клайном текст отсутствует там, где он, согласно Клайну, должен быть. И никто не указал правильный источник. Может быть, Вы укажете?

Что касается оппозиции "канторизму", то много кто был в этой оппозиции. Это пошло на пользу математике, поскольку, во-первых, теория множеств была сформулирована более аккуратно, чтобы избежать парадоксов (это было бы сделано и без оппозиции), а во-вторых, возникло новое интересное направление в математике — конструктивное (на самом деле в конструктивизме довольно много направлений, понимающих конструктивность по-разному). Самое интересное то, что математики давно уже обо всём договорились, а всякие околоматематические хвилозофы продолжают яростно обличать. Даже и Пуанкаре уже писал, что
Цитата:
У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись,
а обнаруженных парадоксов оказалось возможным избежать.

Witan в сообщении #1280623 писал(а):
Здесь как раз канторизм и назван «патологическим случаем». Слов про «будущие поколения» здесь нет (и нет их во всей книге «О науке», М., 1990).
Однако отрицательное отношение Пуанкаре к канторизму выражено достаточно ясно. Обоснование, которое он дает, слишком обширно, чтобы его здесь цитировать (но логично).
Что не мешает ему писать об очевидных заслугах "канторизма". А также недоумевать, почему Эрмит столь яростно отвергает "канторизм".

Witan в сообщении #1280623 писал(а):
Требование «вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов», на современном языке будет означать: «...которые можно определить при помощи какого-нибудь алгоритма».
Ну да, советское направление конструктивизма, базирующееся на понятии алгоритма, основоположниками которого были Марков, Шанин и другие, несколько десятилетий успешно развивалось, но потом явно исчерпалось. Я не в курсе, продолжает кто-нибудь работать в этом направлении, или уже все разбежались по другим направлениям математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение02.01.2018, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Someone в сообщении #1280678 писал(а):
советское направление конструктивизма, базирующееся на понятии алгоритма, основоположниками которого были Марков, Шанин и другие, несколько десятилетий успешно развивалось, но потом явно исчерпалось. Я не в курсе, продолжает кто-нибудь работать в этом направлении, или уже все разбежались по другим направлениям математики

В ЖЖ был такой юзер, __gastrit@lj (вроде бы, преподаватель мехмата), активный сторонник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение02.01.2018, 23:44 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Цитата из ЖЖ одного хорошего математика, занимающегося Мартин-Лёфовской теорией типов (это современный конструктивизм)
"Вообще же интерес к IR-типам у меня тоже в контексте автофагии. Дело в том, что IR- и только IR-типы позволяют определять внутри теории типов вселенные, замкнутые относительно формирования зависимых типов (зависимых сумм, произведений, индуктивных типов, малых индуктивно-рекурсивных типов). Конечно же сразу возникает вопрос, можно ли определить при помощи индукции-рекурсии вселенную, замкнутую относительно формирования больших IR-типов? Можно, конечно, постулировать такую вселенную (Mahlo universe), но её саму индуктивно-рекурсивно не определишь. Однако, если постулировать, то там внутри при помощи индукции-рекурсии можно определить иерархию вселенных Un, замкнутую относительно формирования “больших” (но влезающих в эту иерархию на конечном уровне) индуктивно-рекурсивных типов."

Догоним и перегоним канторизм манией величия! Даёшь иерархию вселенных!

-- 02.01.2018, 23:47 --

К Пуанкаре это имеет прямое отношение, потому что Пуанкаре придумал "предикативность". Это как бы далеко продвинутый пуанкаризм, пришедший на смену канторизму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение03.01.2018, 13:03 


16/08/05
1146

(Кронекер и Вейль)

"I don't know what predominates in Cantor's theory - philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there." (Kronecker)

"...classical logic was abstracted from the mathematics of finite sets and their subsets...Forgetful of this limited origin, one afterwards mistook that logic for something above and prior to all mathematics, and finally applied it, without justification, to the mathematics of infinite sets. This is the Fall and original sin of [Cantor's] set theory ..." (Weyl)

Set Theory: Should You Believe? (Норман Вилдбергер)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение03.01.2018, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
dmd в сообщении #1280908 писал(а):
"I don't know what predominates in Cantor's theory - philosophy or theology, but I am sure that there is no mathematics there." (Kronecker)
Кстати вот у этой цитаты источника тоже не находится.
Это не означает, что Пуанкаре или Кронекер не были против канторовского подхода. Но они приводили доводы против, а не просто объявляли теорию множеств "болезнью" или "не математикой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение03.01.2018, 15:10 


16/08/05
1146
Действительно, были длительные обсуждения в поисках источника этой фразы, все склоняются к мысли, что она фэйковая. Но в любом случае, судя по этой статье, мнение Кронекера было достаточно близко.

На самом деле всё это бородато и не так интересно. Интересна современная критика. Жаль, что ни кто не хочет обсуждать серии Вильдбергера MathFoundations и Algebraic Calculus One. Он считает, что у нас нет конструктивного определения интегрирования, и называет это первой проблемой тысячелетия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение03.01.2018, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
dmd в сообщении #1280933 писал(а):
Он считает, что у нас нет конструктивного определения интегрирования
Что такое "конструктивное определение интегрирования"? Является ли конструктивным определение интеграла в конструктивной математике? (Например, в книге Б. А. Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу", "Наука", Москва, 1973.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пуанкаре и Кантор
Сообщение03.01.2018, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
dmd в сообщении #1280933 писал(а):
Вильдбергера
"Тридцатилетнего доцента"? Это же надо суметь в не самом выдающемся университете Нового Южного Уэльса засидеться в должности associate professor более тридцати лет после PhD? (По аналогии с "пятнадцатилетним капитаном"--пятнадцать лет, и все капитан). Когда этот фрик появится в очередной раз в своей Alma Mater (т.е. в Торонто), надо будет задать ему парочку вопросов. Тоже мне, соперник Ярославу Серггеву выискался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group