Доказать комбинаторную формулу

[zuj]

Доброго времени суток всем!

В процессе решения одной задачи возникла потребность доказать следующее равенство:

$$(-1)^j\frac{1}{j!}=\dispalystyle\sum^j_{s=1}(-1)^s\frac{1}{(s-1)!(j-s+1)!}.\qquad(1)$$

Интуитивно чувствую, что его как то можно доказать с помощью стандартных формул (или мне это только кажется) ... но ввиду того что ничего не смог найти попробовал самостоятельно. Вот что получилось:
Сумму в правой части уравнения (1) можно расписать в явном виде, тогда

$$-\frac{1}{0!j!}+\frac{1}{1!(j-1)!}-\frac{1}{2!(j-2)!}+\ldots+(-1)^{j-1}\frac{1}{(j-2)!2!}+(-1)^j\frac{1}{(j-1)!1!}.\qquad (2)$$

Тут же напрашивается идея рассматривать $j$ как четное и нечетное число, тогда:
Если $j=2k+1$, то в сумме (2) почти все сокращается и остается только
$-\frac{1}{0!(2k+1)!}$, что сразу приводит к равенству.
А вот если $j=2k$, то тут я прям и не знаю что делать ...

Вобщем проблема вот такая - доказать что формула (1) верна. Заранее благодарен за любые комментарии и предложения.

[RIP]

Если умножить Вашу формулу на $j!$, то её можно преобразовать к виду

$$\sum_{k=0}^j\frac{j!}{k!(j-k)!}(-1)^k=0,$$

что верно при $j\in\mathbb N$ ввиду формулы

$$\sum_{k=0}^j\frac{j!}{k!(j-k)!}\,x^k=(1+x)^j.$$

[zuj]

Спасибо!
С концовкой понятно.

Цитата:

что верно при $j\in\mathbb N$ ввиду формулы

$$\sum_{k=0}^j\frac{j!}{k!(j-k)!}\,x^k=(1+x)^j.$$

А можно немного поподробнее про преобразование к виду

Цитата:

$$\sum_{k=0}^j\frac{j!}{k!(j-k)!}(-1)^k=0.$$

Одно два промежуточных действия ... я просто не совсем понял что там происходит при домножении на $j!$.

[RIP]

Моё $k$ - это Ваше $s-1$. Распишите мою сумму подробно, сравните с тем, что Вы писали выше, и всё поймёте.

[zuj]

Ну да точно!
Замечательно, спасибо Вам огромное.

[Henrylee]

Заметим, что

$$ \frac1{(s-1)!(j-s+1)!}=\frac1{j!}C^{s-1}_j $$

Далее,

$$ \dispalystyle\sum^j_{s=1}(-1)^s\frac{1}{(s-1)!(j-s+1)!}=\frac1{j!} \sum^j_{s=1}(-1)^sC^{s-1}_j= $$

для удобства обозначим $i=s-1$

$$ =\frac1{j!}\sum^{j-1}_{i=0}(-1)^{i+1}C^i_j=-\frac1{j!}\sum^{j-1}_{i=0}(-1)^iC^i_j=-\frac1{j!}\sum^j_{i=0}(-1)^iC^i_j+\frac1{j!}(-1)^jC^j_j $$

дальше понятно.


PS Опоздал

[zuj]

Ваше доказательство Henrylee мне тоже понравилось только хотелось бы один момент прояснить как после

Цитата:

для удобства обозначим $i=s-1$

в сумме у Вас получилось $j-1$?

[RIP]

zuj писал(а):

хотелось бы один момент прояснить как после

Цитата:

для удобства обозначим $i=s-1$

в сумме у Вас получилось $j-1$?

Поскольку $s$ пробегает значения $1,2,\ldots,j$, то $i=s-1$ пробегает значения $0,1,\ldots,j-1$.