2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение07.01.2018, 00:37 


07/08/16
328
ewert
Ну, берём $t(\lambda_{1} + ... + \lambda_{n-1}t^{n-2}) = 0$. Значит или $t = 0$ или наш многочлен $n-2$ степени равен нулю. Если $t$ равно нулю, то и $\lambda_{1} = 0$, если же многочлен тождественно равен нулю, он также равен нулю и при $t = 0$, а значит всё равно $\lambda_{1} = 0$. И так двигаемся дальше. Где всё ломается?
ewert в сообщении #1281848 писал(а):
Не забывайте, что для конечных полей линейная независимость всех многочленов ваще всё-таки неверна.

Можете растолковать прозрачнее? Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение07.01.2018, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Если $t=0$, то в Вашей следующей скобке может быть что угодно, т.е. отсюда не обязано следовать, что $\lambda_1=0$.. С другой стороны $t$ - это ведь не тождественный ноль, а Ваше равенство должно пониматься именно в этом смысле

-- 07.01.2018, 15:38 --

Sdy в сообщении #1281855 писал(а):
Можете растолковать прозрачнее? Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

В конечном поле у Вас будет тождественное равенство $x^n-1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение07.01.2018, 15:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sdy в сообщении #1281855 писал(а):
Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

И коэффициенты, и само $t$.

thething в сообщении #1281985 писал(а):
В конечном поле у Вас будет тождественное равенство $x^n-1=0$

Это сильно вряд ли: что будет в нуле и что -- в единице? Зато тождественный ноль даст многочлен $t(t-1)(t-2)\cdots(t-n+1)$, и он нетривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение07.01.2018, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
ewert
Под $x$ я имел ввиду примитивный элемент поля $\mathbb{F}_{n+1}$. Т.е. имеем противоречие в утверждении $\lambda_1+\lambda_2t^n\equiv{0}\Leftrightarrow{\lambda_1=\lambda_2=0}$ (в сторону "туда", естественно)

Я был не прав в своем предыдущем посте, написав слово "тождественное".

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение07.01.2018, 16:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
thething в сообщении #1282022 писал(а):
Под $x$ я имел ввиду примитивный элемент поля $\mathbb{F}_{n+1}$.

А надо было иметь в виду любое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение08.01.2018, 00:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
На самом деле тут никаких конкретных примеров не нужно. Достаточно того, что в любом фиксированном конечном поле количество таблиц "аргумент - значение" (т.е., собственно, количество возможных различных графиков) конечно. А вот количество формально различных многочленов -- бесконечно. И, следовательно, найдутся два таких формально разных, у которых совпадут графики. Но тогда разность между ними будет нетривиальным многочленом, тождественно равным нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение08.01.2018, 18:00 


07/08/16
328
ewert
Спасибо, но пока что для меня такое объяснения слишком сложно. Я еще не работал с понятием "поле", у меня есть лишь интиутивное понимание того что это, подкрепленное лишь определением. По книге меня это ждёт дальше.
thething
Да, я осознал, в чем ошибочно моё доказательство. Значит нужно думать заново.
В принципе, мне был задан вопрос -
ewert в сообщении #1281776 писал(а):
Если некоторый нетривиальный многочлен тождественно равен нулю, то -- сколько у него корней?...

Я обдумаю его, и попробую играть от более, как мне кажется тривиальных идей. Теоремы то я знаю, а вот применять на практике их не приходилось, вот и пожинаю плоды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение08.01.2018, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Sdy в сообщении #1282426 писал(а):
Да, я осознал, в чем ошибочно моё доказательство. Значит нужно думать заново.

У Вас хорошая идея, вы всегда можете "сократить" на $t$ (да не побьют меня за такое слово применительно к функциям), поскольку $f(t)=t$ -- не есть тождественный ноль. Равенство же Вашей комбинации нулю именно тождественное. И неважно, что в каких-то точках функция обращается в 0, главное, что она не тождественный ноль. Проблемы в Вашем доказательстве возникают, если рассматривается отрезок, в который не входит точка 0, т.е. Вы не можете его подставлять и постепенно избавляться от коэффициентов.

Но теоремами, конечно, будет побыстрее, более общо и без лишних заклинаний)

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение08.01.2018, 20:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
thething в сообщении #1282433 писал(а):
У Вас хорошая идея, вы всегда можете "сократить" на $t$ (да не побьют меня за такое слово применительно к функциям), поскольку $f(t)=t$ -- не есть тождественный ноль.

Нельзя (точнее, бесполезно) сокращать на $t$, т.к. после этого оставшееся не обязано обращаться в ноль в нуле. Вво всех остальных точках обязано, а вот в нуле -- нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение08.01.2018, 21:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sdy в сообщении #1282426 писал(а):
Спасибо, но пока что для меня такое объяснения слишком сложно. Я еще не работал с понятием "поле",

Для практических целей пока что достаточно знать, что поле -- это множество, на котором введены операции сложения и умножения, и при этом имеют обратные (вычитание и деление), и при этом выполняются всем привычные свойства этих операций. Пока -- вполне достаточно, аксиоматиками можно будет заморачиваться и позже.

Простейшее конечное поле -- это $\mathbb Z_2=\{0,1\}$, в котором все операции определены естественным образом, кроме одного: $1+1=0$ или, что эквивалентно, $-1=1$. Легко видеть, что все естественные свойства арифметических операций выполняются. Причём это поле -- вовсе не игрушечное. Его можно интерпретировать как множество логических значений $\{\mathrm{FALSE,\;TRUE}\}$; при этом сложению отвечает логическая операция "$\text{исключающее ИЛИ = XOR}$", умножению -- операция "$\text{И = AND}$". Так вот, в этом поле линейно независимы одночлены $1$ и $t$, а при добавлении следующих степеней независимость уже нарушается.

Но если Вам неохота во всё это вникать, то и правильно. Я тогда завёл речь о конечных полях лишь для того, чтобы подчеркнуть: из только свойств арифметических операций линейная независимость не следует. Следует лишь теорема Безу. А вот уже из неё (с учётом бесконечности интересующих нас полей) -- очевидным образом следует и независимость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение09.01.2018, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
ewert в сообщении #1282475 писал(а):
после этого оставшееся не обязано обращаться в ноль в нуле. Вво всех остальных точках обязано, а вот в нуле -- нет.

Ну хорошо, а как насчет перейти к пределу?

Хотя это все и не стОит того, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение11.01.2018, 23:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

thething в сообщении #1282559 писал(а):
Ну хорошо, а как насчет перейти к пределу?

А никак. Сугубо арифметические операции -- переходов к пределам сугубо не предполагают.

thething в сообщении #1282559 писал(а):
Хотя это все и не стОит того, естественно.

Да, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение12.01.2018, 04:27 


07/08/16
328
ewert
Пока что понятно, что слева будет многочлен, у которого будет не больше $l$ корней, справа тот, у которого не больше $m$ корней. Всё хорошо, если числа корней различаются. Но, как в примере ,eugensk, они же могут и совпасть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение12.01.2018, 05:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Sdy
Зачем Вам "лево" и "право"? Ответьте на вопросы: может ли нетривиальный многочлен иметь бесконечное число корней? А если все-таки многочлен имеет бесконечное число корней, может ли он быть нетривиальным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций
Сообщение18.01.2018, 10:54 


07/08/16
328
thething в сообщении #1283389 писал(а):
Sdy
Зачем Вам "лево" и "право"? Ответьте на вопросы: может ли нетривиальный многочлен иметь бесконечное число корней? А если все-таки многочлен имеет бесконечное число корней, может ли он быть нетривиальным?

Ведь многочлен имеет бесконечное число корней, толькое если все коэффициенты нулевые? И ясно, что это случай тривиальной комбинации. К сожалению, мне не ясно, почему у него должно быть бесконечное множество корней, если вы клоните в эту сторону.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group