Векторы в пространстве непрерывных на отрезке функций

[Sdy]

ewert
Ну, берём $t(\lambda_{1} + ... + \lambda_{n-1}t^{n-2}) = 0$. Значит или $t = 0$ или наш многочлен $n-2$ степени равен нулю. Если $t$ равно нулю, то и $\lambda_{1} = 0$, если же многочлен тождественно равен нулю, он также равен нулю и при $t = 0$, а значит всё равно $\lambda_{1} = 0$. И так двигаемся дальше. Где всё ломается?

ewert в сообщении #1281848 писал(а):

Не забывайте, что для конечных полей линейная независимость всех многочленов ваще всё-таки неверна.

Можете растолковать прозрачнее? Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

[thething]

Если $t=0$, то в Вашей следующей скобке может быть что угодно, т.е. отсюда не обязано следовать, что $\lambda_1=0$.. С другой стороны $t$ - это ведь не тождественный ноль, а Ваше равенство должно пониматься именно в этом смысле

-- 07.01.2018, 15:38 --

Sdy в сообщении #1281855 писал(а):

Можете растолковать прозрачнее? Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

В конечном поле у Вас будет тождественное равенство $x^n-1=0$

[ewert]

Sdy в сообщении #1281855 писал(а):

Речь об поле, откуда берем коэффициенты?

И коэффициенты, и само $t$.

thething в сообщении #1281985 писал(а):

В конечном поле у Вас будет тождественное равенство $x^n-1=0$

Это сильно вряд ли: что будет в нуле и что -- в единице? Зато тождественный ноль даст многочлен $t(t-1)(t-2)\cdots(t-n+1)$, и он нетривиален.

[thething]

ewert
Под $x$ я имел ввиду примитивный элемент поля $\mathbb{F}_{n+1}$. Т.е. имеем противоречие в утверждении $\lambda_1+\lambda_2t^n\equiv{0}\Leftrightarrow{\lambda_1=\lambda_2=0}$ (в сторону "туда", естественно)

Я был не прав в своем предыдущем посте, написав слово "тождественное".

[ewert]

thething в сообщении #1282022 писал(а):

Под $x$ я имел ввиду примитивный элемент поля $\mathbb{F}_{n+1}$.

А надо было иметь в виду любое число.

[ewert]

На самом деле тут никаких конкретных примеров не нужно. Достаточно того, что в любом фиксированном конечном поле количество таблиц "аргумент - значение" (т.е., собственно, количество возможных различных графиков) конечно. А вот количество формально различных многочленов -- бесконечно. И, следовательно, найдутся два таких формально разных, у которых совпадут графики. Но тогда разность между ними будет нетривиальным многочленом, тождественно равным нулю.

[Sdy]

ewert
Спасибо, но пока что для меня такое объяснения слишком сложно. Я еще не работал с понятием "поле", у меня есть лишь интиутивное понимание того что это, подкрепленное лишь определением. По книге меня это ждёт дальше.
thething
Да, я осознал, в чем ошибочно моё доказательство. Значит нужно думать заново.
В принципе, мне был задан вопрос -

ewert в сообщении #1281776 писал(а):

Если некоторый нетривиальный многочлен тождественно равен нулю, то -- сколько у него корней?...

Я обдумаю его, и попробую играть от более, как мне кажется тривиальных идей. Теоремы то я знаю, а вот применять на практике их не приходилось, вот и пожинаю плоды.

[thething]

Sdy в сообщении #1282426 писал(а):

Да, я осознал, в чем ошибочно моё доказательство. Значит нужно думать заново.

У Вас хорошая идея, вы всегда можете "сократить" на $t$ (да не побьют меня за такое слово применительно к функциям), поскольку $f(t)=t$ -- не есть тождественный ноль. Равенство же Вашей комбинации нулю именно тождественное. И неважно, что в каких-то точках функция обращается в 0, главное, что она не тождественный ноль. Проблемы в Вашем доказательстве возникают, если рассматривается отрезок, в который не входит точка 0, т.е. Вы не можете его подставлять и постепенно избавляться от коэффициентов.

Но теоремами, конечно, будет побыстрее, более общо и без лишних заклинаний)

[ewert]

thething в сообщении #1282433 писал(а):

У Вас хорошая идея, вы всегда можете "сократить" на $t$ (да не побьют меня за такое слово применительно к функциям), поскольку $f(t)=t$ -- не есть тождественный ноль.

Нельзя (точнее, бесполезно) сокращать на $t$, т.к. после этого оставшееся не обязано обращаться в ноль в нуле. Вво всех остальных точках обязано, а вот в нуле -- нет.

[ewert]

Sdy в сообщении #1282426 писал(а):

Спасибо, но пока что для меня такое объяснения слишком сложно. Я еще не работал с понятием "поле",

Для практических целей пока что достаточно знать, что поле -- это множество, на котором введены операции сложения и умножения, и при этом имеют обратные (вычитание и деление), и при этом выполняются всем привычные свойства этих операций. Пока -- вполне достаточно, аксиоматиками можно будет заморачиваться и позже.

Простейшее конечное поле -- это $\mathbb Z_2=\{0,1\}$, в котором все операции определены естественным образом, кроме одного: $1+1=0$ или, что эквивалентно, $-1=1$. Легко видеть, что все естественные свойства арифметических операций выполняются. Причём это поле -- вовсе не игрушечное. Его можно интерпретировать как множество логических значений $\{\mathrm{FALSE,\;TRUE}\}$; при этом сложению отвечает логическая операция "$\text{исключающее ИЛИ = XOR}$", умножению -- операция "$\text{И = AND}$". Так вот, в этом поле линейно независимы одночлены $1$ и $t$, а при добавлении следующих степеней независимость уже нарушается.

Но если Вам неохота во всё это вникать, то и правильно. Я тогда завёл речь о конечных полях лишь для того, чтобы подчеркнуть: из только свойств арифметических операций линейная независимость не следует. Следует лишь теорема Безу. А вот уже из неё (с учётом бесконечности интересующих нас полей) -- очевидным образом следует и независимость.

[thething]

ewert в сообщении #1282475 писал(а):

после этого оставшееся не обязано обращаться в ноль в нуле. Вво всех остальных точках обязано, а вот в нуле -- нет.

Ну хорошо, а как насчет перейти к пределу?

Хотя это все и не стОит того, естественно.

[ewert]

(Оффтоп)

thething в сообщении #1282559 писал(а):

Ну хорошо, а как насчет перейти к пределу?

А никак. Сугубо арифметические операции -- переходов к пределам сугубо не предполагают.

thething в сообщении #1282559 писал(а):

Хотя это все и не стОит того, естественно.

Да, естественно.

[Sdy]

ewert
Пока что понятно, что слева будет многочлен, у которого будет не больше $l$ корней, справа тот, у которого не больше $m$ корней. Всё хорошо, если числа корней различаются. Но, как в примере ,eugensk, они же могут и совпасть.

[thething]

Sdy
Зачем Вам "лево" и "право"? Ответьте на вопросы: может ли нетривиальный многочлен иметь бесконечное число корней? А если все-таки многочлен имеет бесконечное число корней, может ли он быть нетривиальным?

[Sdy]

thething в сообщении #1283389 писал(а):

Sdy
Зачем Вам "лево" и "право"? Ответьте на вопросы: может ли нетривиальный многочлен иметь бесконечное число корней? А если все-таки многочлен имеет бесконечное число корней, может ли он быть нетривиальным?

Ведь многочлен имеет бесконечное число корней, толькое если все коэффициенты нулевые? И ясно, что это случай тривиальной комбинации. К сожалению, мне не ясно, почему у него должно быть бесконечное множество корней, если вы клоните в эту сторону.