Выпуклость/вогнутость в 3D

[MestnyBomzh]

Исследую функцию $z = x^2-y^2$ на выпуклость/вогнутость. Матрица Гессе:

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & \\ 0& -2 & \end{pmatrix}$$

Матрица не определена при любых $(x,y)$. Как я вычитал из интернета это означает, что функция не обладает свойством выпуклости. Я не очень понимаю как такое возможно. Вот представляю себе функции: я всегда смогу сказать она выпукла или вогнута (за исключением прямой), но тут то не прямая/не плоскость, могли бы объяснить с геометрической точки зрения как поверхность может быть одновременно не выпуклой и не вогнутой?

[Metford]

MestnyBomzh в сообщении #1277691 писал(а):

могли бы объяснить с геометрической точки зрения как поверхность может быть одновременно не выпуклой и не вогнутой?

А Вы эту поверхность хотя бы раз видели? Я серьёзно спрашиваю. Обычно она встречается в аналитической геометрии.
Даже не знаю, было бы это криминалом, сразу показать картинку - а то так и сделал бы. Но уж больно случай хрестоматийный.

MestnyBomzh в сообщении #1277691 писал(а):

Матрица не определена при любых $(x,y)$.

Не определена?

[MestnyBomzh]

Metford в сообщении #1277693 писал(а):

Не определена?

я имел в виду, не является положительно определенной и не является отрицательно определенной

Metford в сообщении #1277693 писал(а):

Вы эту поверхность хотя бы раз видели?

Я смотрю на неё сейчас прямо)Там в нуле седло

[Metford]

MestnyBomzh в сообщении #1277699 писал(а):

Я смотрю на неё сейчас прямо)Там в нуле седло

Отлично. Ну и как, оно выпуклое/вогнутое? Или я сути Вашего вопроса не понял?

[MestnyBomzh]

Ну, например, если взять точку $x=2, y=0, z=4$, то я бы сказал, что она выпукла вверх. Я бы вообще посмотрел на множество точек $x=c, y=0, z=c^2$, это парабола и она, очевидно, выпукла вверх. Правда что тут понимать под верхом и низом.. Но я бы понимал направление оси зет как верх/низ

[Dan B-Yallay]

MestnyBomzh в сообщении #1277719 писал(а):

я бы сказал, что она выпукла вверх.

Переиначивая известное выражение: " если бы седло было выпуклым, оно было бы эллипсоидом".

По одному сечению оно выпукло, а по другому?

[Metford]

Вы не пытайтесь смотреть сечение одной плоскостью с соответствующими выводами. Вы смотрИте сечение двумя взаимно перпендикулярными плоскостями. В одной-то плоскости Вы возвращаетесь к плоскому варианту (извините за тавтологию), где седловые точки в принципе отсутствуют. Это новизна, возникающая в размерности выше второй.
Так вот попробуйте поразрезать Вашу поверхность двумя плоскостями. А потом то же попробуйте для поверхности, отличающейся от Вашей знаком плюс в правой части вместо минуса.

MestnyBomzh в сообщении #1277719 писал(а):

Правда что тут понимать под верхом и низом.

Ну, так Вы и выпуклость/вогнутость плоской кривой под сомнение поставите...

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1277721 писал(а):

" если бы седло было выпуклым, оно было бы эллипсоидом"

Страшный сон д'Артаньяна

[vpb]

Если не возражаете, я попробую объяснить простыми словами. Выпуклое --- это значит горка, точка лежит на вершине или на склоне горки. Вогнутое --- ямка, точка внизу или на склоне ямки. Это можно себе представлять и на плоскости, и в пространстве. Для простоты рассмотрим на плоскости. Там, заметим, есть некая неопределенность. Вот точка была на вершине горки, покатилась в ямку. Как определить, где кончается склон горки и начинается склон ямки?
А так: когда точка на склоне горки, то касательная в этой точке лежит выше кривой, а когда на склоне ямки --- то ниже.
В терминах производных это значит, что вторая производная в данной точке меньше нуля, для горки, и больше нуля, для ямки. Точка, где склон горки превращается в склон ямки, называется точка перегиба, там вторая производная нуль.

Теперь в пространстве. Там тоже могут быть точки выпуклости и вогнутости. В точках выпуклости поверхность лежит снизу от касательной плоскости, в точках вогнутости сверху. Но там еще бывает, что седло. Это значит, что если провести касательную плоскость в точке $x$, то в любой близости от $x$ есть точки на поверхности, лежащие выше этой касательной плоскости, и есть лежащие ниже. Если же провести через эту точку секущую плоскость, перпендикулярную горизонтальной плоскости, то при одних положениях секущей плоскости сечение оказывается выпуклым в точке $x$, а при других вогнутым.

[MestnyBomzh]

Руками построил касательную плоскость в одной из точек поверхности, покрутил картинку и убедился в вашей правоте, Всем спасибо.