2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Метод неопределённых коэфф-тов при отсутствии целых корней
Сообщение03.01.2018, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
thething в сообщении #1280967 писал(а):
Да, я же привел пример выше. Там представляется в виде произведения только с комплексными коэффициентами и больше никак
Вообще-то, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами степени не более $2$. Следует из того, что если $\alpha+\beta i$, где $\beta\neq 0$, — комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами некоторой кратности $k\geqslant 1$, то сопряжённое число $\alpha-\beta i$ тоже является корнем этого многочлена, причём, той же кратности $k$.

SpiderHulk в сообщении #1280966 писал(а):
Существует ли многочлен такого вида имеющий действительные корни, который нельзя представить в виде:
$$\left(a x^{2} + b x +c\right) \left(d x^{2} + e x +f\right) = 0,$$
где
$a, b, c, d, e, f$ целые числа, которые могут быть равны нулю
Существует, конечно. Например: $$x^4-4x^3+2x^2+4x-2=\begin{cases}(x^2-(2+\sqrt{6})x+(2+\sqrt{6}))(x^2-(2-\sqrt{6})x+(2-\sqrt{6})),\\ (x^2-(2-\sqrt{2})x-\sqrt{2})(x^2-(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}),\\ (x^2-2x-(1-\sqrt{3}))(x^2-2x-(1+\sqrt{3})).\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод неопределённых коэфф-тов при отсутствии целых корней
Сообщение03.01.2018, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
И еще контрпример)) $x^4+5x^3+9x^2+20x+16=(x^2-\frac{-5+\sqrt{21}}{2}x+4)(x^2-\frac{-5-\sqrt{21}}{2}x+4)$

-- 03.01.2018, 20:37 --

Someone в сообщении #1280981 писал(а):
Вообще-то, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами степени не более $2$

Да, вы правы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод неопределённых коэфф-тов при отсутствии целых корней
Сообщение04.01.2018, 11:33 


16/10/14

667
Someone в сообщении #1280981 писал(а):
Существует, конечно. Например:

Ясно, выходит метод неопределённых коэффициентов помогает не всегда

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод неопределённых коэфф-тов при отсутствии целых корней
Сообщение04.01.2018, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
SpiderHulk в сообщении #1281176 писал(а):
Ясно, выходит метод неопределённых коэффициентов помогает не всегда

Смотря что вам от него нужно. Разложение на множители будет всегда, причем начинать можно всегда с целых коэффициентов при старших степенях. Чаще всего в учебных задачах именно такая ситуация (см. приведенные выше примеры). Ну а дальше решить систему 4х4 не очень трудно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group