Метод неопределённых коэфф-тов при отсутствии целых корней

[Someone]

thething в сообщении #1280967 писал(а):

Да, я же привел пример выше. Там представляется в виде произведения только с комплексными коэффициентами и больше никак

Вообще-то, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами степени не более $2$. Следует из того, что если $\alpha+\beta i$, где $\beta\neq 0$, — комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами некоторой кратности $k\geqslant 1$, то сопряжённое число $\alpha-\beta i$ тоже является корнем этого многочлена, причём, той же кратности $k$.

SpiderHulk в сообщении #1280966 писал(а):

Существует ли многочлен такого вида имеющий действительные корни, который нельзя представить в виде:

$$\left(a x^{2} + b x +c\right) \left(d x^{2} + e x +f\right) = 0,$$

где
$a, b, c, d, e, f$ целые числа, которые могут быть равны нулю

Существует, конечно. Например:

$$x^4-4x^3+2x^2+4x-2=\begin{cases}(x^2-(2+\sqrt{6})x+(2+\sqrt{6}))(x^2-(2-\sqrt{6})x+(2-\sqrt{6})),\\ (x^2-(2-\sqrt{2})x-\sqrt{2})(x^2-(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}),\\ (x^2-2x-(1-\sqrt{3}))(x^2-2x-(1+\sqrt{3})).\end{cases}$$

[thething]

И еще контрпример)) $x^4+5x^3+9x^2+20x+16=(x^2-\frac{-5+\sqrt{21}}{2}x+4)(x^2-\frac{-5-\sqrt{21}}{2}x+4)$

-- 03.01.2018, 20:37 --

Someone в сообщении #1280981 писал(а):

Вообще-то, любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов с действительными коэффициентами степени не более $2$

Да, вы правы!

[SpiderHulk]

Someone в сообщении #1280981 писал(а):

Существует, конечно. Например:

Ясно, выходит метод неопределённых коэффициентов помогает не всегда

[thething]

SpiderHulk в сообщении #1281176 писал(а):

Ясно, выходит метод неопределённых коэффициентов помогает не всегда

Смотря что вам от него нужно. Разложение на множители будет всегда, причем начинать можно всегда с целых коэффициентов при старших степенях. Чаще всего в учебных задачах именно такая ситуация (см. приведенные выше примеры). Ну а дальше решить систему 4х4 не очень трудно