что не так с моим вычислением интеграла

[tremor]

Дан интеграл:

$$\int_0^{\infty}\frac{dz}{z^6+1}$$

так как под интегралом четная функция, переписал так

$$ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{z^6+1} = 2\pi i \left(\sum_{j=1}^n res_j\right)$$

очевидно, что все особые точки это полюсы, причем первого порядка, знаменатель переписал так:

$$z = \sqrt[6]{-1}$$

Найдя корни, переписал все в действительном виде, выяснив, что нужны только 3 точки, эти:

$$\varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} $$

$$ \varphi_2 =-\frac{1}{2} + i$$

$$ \varphi_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Воспользовавшись формулой:

$$res_{z = a} = \frac{\xi(a)}{\psi'(a)}$$

Получил предварительно:

$$F(z) =\frac{1}{6z^5} = \Bigg\lvert_{z= \varphi_1..\varphi_3}$$

Подставив вместо $z$ найденные корни, соответственно имею:

$$res_1 = \frac{1}{6\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^5}$$

$$res_2 = \frac{1}{-6\left(\frac{1}{2}-i\right)^5}$$

$$res_3 = \frac{1}{-6\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^5}$$

Вопрос, все-ли я делаю в идейном плане верно?

И второй вопрос, а что делать, чтобы досчитать вычеты? просто по формуле Муавра везде в 5ю степень знаменатель возвести а дальше все сложить и домножить на $2\pi i$ ?

(Просто у меня на $i$ не сокращается, вот и думаю, что где-то либо ошибся с идеями, либо со счетом)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Ms-dos4]

tremor
Начнём по порядку. Во первых,

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dz}}{{{z^6} + 1}} = \pi i} \sum\limits_{k = 1}^3 {{\text{re}}{{\text{s}}_k}} $$

(а не то, что вы написали).

Во вторых, $ - \frac{1}{2} + i$ корнем не является

[tremor]

Ms-dos4 в сообщении #1273771 писал(а):

tremor
Начнём по порядку. Во первых,

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dz}}{{{z^6} + 1}} = \pi i} \sum\limits_{k = 1}^3 {{\text{re}}{{\text{s}}_k}} $$

(а не то, что вы написали).

Во вторых, $ - \frac{1}{2} + i$ корнем не является

Ага, вот и первый вопрос который хотелось бы разрешить. Как говорили нам на лекциях, "берем те точки у которых мнимая часть положительна", как раз у этой точки мнимая часть положительна, я её и взял

[svv]

У неё мнимая часть положительна, как и у прорвы других точек комплексной плоскости, но какое она имеет отношение к уравнению $z^6+1=0$ ?

[tremor]

svv в сообщении #1273776 писал(а):

У неё мнимая часть положительна, как и у прорвы других точек комплексной плоскости, но какое она имеет отношение к уравнению $z^6+1=0$ ?

Это же один из корней уравнения

$$ z = \sqrt[6]{-1}$$

А именно, если

$$e^{\frac{5\pi i}{6}}$$

переписать в действительную форму и найти синус и косинус оно и получится, или я все еще чего-то не уловил? *вздох*

[Ms-dos4]

tremor
Э нет, ${e^{\frac{{5\pi i}}{6}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$, который у вас уже фигурирует

[tremor]

Ms-dos4 в сообщении #1273781 писал(а):

tremor
Э нет, ${e^{\frac{{5\pi i}}{6}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$, который у вас уже фигурирует

Перетрудился, тот корень который якобы лишний я неправильно записал в действительной форме, там аргумент у функций должен быть $\frac{\pi}{2}$, а тут все хорошо как известно :), тогда все сходится и вычет прекрасно считается

[Ms-dos4]

tremor
Так вы третий нужный корень уравнения нашли(а то непонятно, что вы пишите)? И какой получился ответ?
P.S.Форма не бывает 'действительной', это не число. Она называется алгебраической.

[tremor]

Ms-dos4 в сообщении #1273786 писал(а):

tremor
Так вы третий нужный корень уравнения нашли(а то непонятно, что вы пишите)? И какой получился ответ?
P.S.Форма не бывает 'действительной', это не число. Она называется алгебраической.

уточню только один момент и запишу ответ сюда, может пригодится кому, правильно-ли я понял, что знаменатель везде надо возводить в 5ю степень по формуле Муавра?

[Ms-dos4]

tremor
Ну как хотите, так и возводите в степень комплексные числа. Удобнее всего, конечно, делать это в экспоненциальной форме.

[provincialka]

tremor в сообщении #1273787 писал(а):

правильно-ли я понял, что знаменатель везде надо возводить в 5ю степень по формуле Муавра?

Вообще не надо возводить, так-то.
$F(z) =\frac{1}{6z^5}=\frac{z}{6z^6}$, что для корней уравнения $z^6=-1$ совпадает с $-z/6$

[Metford]

tremor
Если уж считать этот интеграл методами ТФКП, то при правильном выборе контура хватит вообще одного вычета. Вы когда досчитаете так, как сейчас это делаете, подумайте Время экономит...

[tremor]

provincialka в сообщении #1273792 писал(а):

tremor в сообщении #1273787 писал(а):

правильно-ли я понял, что знаменатель везде надо возводить в 5ю степень по формуле Муавра?

Вообще не надо возводить, так-то.
$F(z) =\frac{1}{6z^5}=\frac{z}{6z^6}$, что для корней уравнения $z^6=-1$ совпадает с $-z/6$

Действительно, так намного проще!

Спасибо provincialka и Ms-dos4 что добили до понимания, с этим типом интегралов точно все

ах да, финальный ответ $\frac{\pi}{3}$, обещал же добавить