2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение07.12.2017, 18:17 


07/12/17
4
Не могу понять, то ли это очень простой вопрос и ответ на него отрицательный, то ли наоборот очень сложный и поэтому не могу на него никак ответить
А вопрос вот в чем: пусть дан набор подгрупп какой-то группы, определяет ли он однозначно(с точностью до изоморфизма) данную группу? Иными словами, есть ли две неизоморфные группы, но все их подгруппы при этом изоморфны(здесь я, конечно, имею в виду, что и количество подгрупп в каждой из групп совпадает)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение07.12.2017, 23:33 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
Я думаю, что очень простой.
Всякая группа содержит в качестве подгруппы саму себя и единичную подгруппу. Ясно, что их надо исключить из сравнения: сами группы будут неизоморфны, а наличие единичной подгруппы тривиально. Так что рассматриваем только собственные подгруппы.
Теперь возьмите циклические группы $\mathbb Z_3$ и $\mathbb Z_5$, и посмотрите, можно ли их различить по собственным подгруппам.

Возможно, Вашему вопросу можно придать более содержательный вид, но мне это не под силу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну если рассматривать не только инъективные морфизмы $H \to G$ а вообще все морфизмы из всех групп, то определяет - это лемма Йонеды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 10:31 


07/12/17
4
svv в сообщении #1272997 писал(а):
Я думаю, что очень простой.
Всякая группа содержит в качестве подгруппы саму себя и единичную подгруппу. Ясно, что их надо исключить из сравнения: сами группы будут неизоморфны, а наличие единичной подгруппы тривиально. Так что рассматриваем только собственные подгруппы.
Теперь возьмите циклические группы $\mathbb Z_3$ и $\mathbb Z_5$, и посмотрите, можно ли их различить по собственным подгруппам.

Возможно, Вашему вопросу можно придать более содержательный вид, но мне это не под силу.

Ну, в вашем примере у этих двух групп просто нет собственных нетривиальных подгрупп
Пусть мой вопрос формулируется для случаев, когда такие подгруппы есть

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 11:56 


08/05/08
461
ИСН в сообщении #1273061 писал(а):
Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

Я так понял вопрос, что у $S_3$ подгрупп $\mathbb Z_2$ 3 штуки, а у $\mathbb Z_6$ меньше

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Можно понимать так. Я понял иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение08.12.2017, 12:32 


07/12/17
4
ET в сообщении #1273072 писал(а):
ИСН в сообщении #1273061 писал(а):
Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

Я так понял вопрос, что у $S_3$ подгрупп $\mathbb Z_2$ 3 штуки, а у $\mathbb Z_6$ меньше

Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение09.12.2017, 05:09 


08/05/08
461
Ernst_Tsermelo в сообщении #1273080 писал(а):
Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

Тады встречный вопрос:
а что с бесконечными группами, у которых может быть бесконечное же количество подгрупп?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение09.12.2017, 12:43 


07/12/17
4
ET в сообщении #1273390 писал(а):
Ernst_Tsermelo в сообщении #1273080 писал(а):
Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

Тады встречный вопрос:
а что с бесконечными группами, у которых может быть бесконечное же количество подгрупп?

Хотелось бы, конечно, для начала научиться отвечать на этот вопрос для конечных групп
Ну для бесконечных: тогда должно быть что-то вроде этого: для каждой подгруппы первой группы найдётся ровно одна подгруппа второй группы, изоморфная ей и наоборот

 Профиль  
                  
 
 Re: Определяет ли набор подгрупп группу?
Сообщение09.12.2017, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1574
Москва
Ernst_Tsermelo в сообщении #1273420 писал(а):
для каждой подгруппы первой группы найдётся ровно одна подгруппа второй группы, изоморфная ей и наоборот
То есть группы с несколькими изоморфными подгруппами не рассматриваются?
(а то в бесконечных группах бывают неизоморфные группы, каждая из которых изоморфна подгруппе другой - поэтому мощности множества подгрупп данного типа у них изоморфны)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group