Определяет ли набор подгрупп группу?

[Ernst_Tsermelo]

Не могу понять, то ли это очень простой вопрос и ответ на него отрицательный, то ли наоборот очень сложный и поэтому не могу на него никак ответить
А вопрос вот в чем: пусть дан набор подгрупп какой-то группы, определяет ли он однозначно(с точностью до изоморфизма) данную группу? Иными словами, есть ли две неизоморфные группы, но все их подгруппы при этом изоморфны(здесь я, конечно, имею в виду, что и количество подгрупп в каждой из групп совпадает)

[svv]

Я думаю, что очень простой.
Всякая группа содержит в качестве подгруппы саму себя и единичную подгруппу. Ясно, что их надо исключить из сравнения: сами группы будут неизоморфны, а наличие единичной подгруппы тривиально. Так что рассматриваем только собственные подгруппы.
Теперь возьмите циклические группы $\mathbb Z_3$ и $\mathbb Z_5$, и посмотрите, можно ли их различить по собственным подгруппам.

Возможно, Вашему вопросу можно придать более содержательный вид, но мне это не под силу.

[kp9r4d]

Ну если рассматривать не только инъективные морфизмы $H \to G$ а вообще все морфизмы из всех групп, то определяет - это лемма Йонеды.

[Ernst_Tsermelo]

svv в сообщении #1272997 писал(а):

Я думаю, что очень простой.
Всякая группа содержит в качестве подгруппы саму себя и единичную подгруппу. Ясно, что их надо исключить из сравнения: сами группы будут неизоморфны, а наличие единичной подгруппы тривиально. Так что рассматриваем только собственные подгруппы.
Теперь возьмите циклические группы $\mathbb Z_3$ и $\mathbb Z_5$, и посмотрите, можно ли их различить по собственным подгруппам.

Возможно, Вашему вопросу можно придать более содержательный вид, но мне это не под силу.

Ну, в вашем примере у этих двух групп просто нет собственных нетривиальных подгрупп
Пусть мой вопрос формулируется для случаев, когда такие подгруппы есть

[ИСН]

Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

[ET]

ИСН в сообщении #1273061 писал(а):

Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

Я так понял вопрос, что у $S_3$ подгрупп $\mathbb Z_2$ 3 штуки, а у $\mathbb Z_6$ меньше

[ИСН]

Можно понимать так. Я понял иначе.

[Ernst_Tsermelo]

ET в сообщении #1273072 писал(а):

ИСН в сообщении #1273061 писал(а):

Тогда $S_3$ и $\mathbb Z_6$. Нетривиальные подгруппы есть, а толку-то?

Я так понял вопрос, что у $S_3$ подгрупп $\mathbb Z_2$ 3 штуки, а у $\mathbb Z_6$ меньше

Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

[ET]

Ernst_Tsermelo в сообщении #1273080 писал(а):

Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

Тады встречный вопрос:
а что с бесконечными группами, у которых может быть бесконечное же количество подгрупп?

[Ernst_Tsermelo]

ET в сообщении #1273390 писал(а):

Ernst_Tsermelo в сообщении #1273080 писал(а):

Вы поняли все правильно
У двух групп количество подгрупп должно совпадать

Тады встречный вопрос:
а что с бесконечными группами, у которых может быть бесконечное же количество подгрупп?

Хотелось бы, конечно, для начала научиться отвечать на этот вопрос для конечных групп
Ну для бесконечных: тогда должно быть что-то вроде этого: для каждой подгруппы первой группы найдётся ровно одна подгруппа второй группы, изоморфная ей и наоборот

[mihaild]

Ernst_Tsermelo в сообщении #1273420 писал(а):

для каждой подгруппы первой группы найдётся ровно одна подгруппа второй группы, изоморфная ей и наоборот

То есть группы с несколькими изоморфными подгруппами не рассматриваются?
(а то в бесконечных группах бывают неизоморфные группы, каждая из которых изоморфна подгруппе другой - поэтому мощности множества подгрупп данного типа у них изоморфны)