2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Треугольники в треугольнике
Сообщение07.12.2017, 08:45 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Читая о свойствах треугольников, натыкаешся на интересные порой вещи.
Вот одна из них.
Пусть у нас есть треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ - центр вписанной окружности.
Доказать, что центры окружностей, описанных вокруг трех полученных треугольников лежат на окружности, центр которой совпадает с центром окружности, описанной вокруг исходного треугольника $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение08.12.2017, 13:33 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Попалась задачка на похожую тему.
Пусть у нас есть остроугольный треугольник $ABC$ с длинами сторон $AB<AC<BC$
Пусть $I$ - центр вписанной окружности, а $O$ - описанной.
Доказать что прамая $IO$ пересекает стороны $AB$ и $BC$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение08.12.2017, 14:42 


11/11/12
172
Первая задача легко следует из леммы о трезубце (или леммы о куриной лапке).

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение08.12.2017, 15:37 


05/09/16
2450
fred1996 в сообщении #1273109 писал(а):
Доказать что прамая $IO$ пересекает стороны $AB$ и $BC$

Ну тут можно вашим методом.
Допустим $ABC$ равнобедренный, $AB<AC=BC$
Тогда центры обоих окружностей лежат на медиане-биссектрисе-высоте $BM$, причем $CO$<$CI$. $OI$ проходит через $C$ и $AB$.
Зафиксируем точки $A$ и $C$, а точку $B$ передвинем в точку $B'$ вдоль прямой $AB$ так что $AB'>AB$, но по-прежнему $AB'$<$AC$. Тогда получим треугольник в котором $AB'<AC<CB'$, в котором построим описанную и вписанную окружности с центрами $O'$ и $I'$
Точки $O$ и $O'$ будут принадлежать к серединному перпендикуляру к $AC$, общему для обоих треугольников, а точки $I$ и $I'$ будут принадлежать к биссектрисе угла $\angle CAB$, тоже общей для обоих треугольников.
Обозначим как $X$ точку пересечения указанных серединного перпендикуляра к $AC$ и биссектрисы угла $\angle CAB$.
Точки $I'$ и $O'$ будут принадлежать отрезкам $IX$ и $OX$ соответственно до тех пор пока $AB'<AC$. Ну а $O'$ будет между $O$ и $X$ потому что она лжит на серединном перпендикуляре к $AB'$, а он подвинется вправо на $BB'/2$. А $I'$ будет между $I$ и $X$ потому что угол $\angle ACB' > \angle ACB$, а $I'$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB'$
Ну и из этого очевидно что прямая $O'I'$ будет пересекать стороны $AB'$ и $CB'$

(Картинка)

Изображение

А... нет. Еще надо доказать что проекция $O'$ на $AB$ всегда будет правее проекции $I'$ на $AB$.

 Профиль  
                  
 
 Задача 3
Сообщение08.12.2017, 23:05 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
У меня тут много накопилось задачек с треугольниками не шибко сложных, но и не совсем прозрачных. Все они взяты с олимпиад не самого нижнего уровня. Чтобы не забивать олимпиадную ветку одними треугольниками, наверное лучше задачи по ним я буду публиковать в одной теме.
Просьба к тем, кто решит задачи, просто публиковать решение под тегом off
Задача 3.
Пусть у нас имеется остроугольный треугольник $ABC$.
Нарисуем окружность с диаметром $AB$. Высота $CC'$ пересекает ее в точках $M, N$
Нарисуем окружность с диаметром $BC$. Высота $AA'$ пересекает ее в точках $P, Q$
Доказать, что эти точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.

#905

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение08.12.2017, 23:56 


11/07/16
336
Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение09.12.2017, 01:10 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Markiyan Hirnyk
Ну в общем я слышал, что алгебра убила геометрические построения.
Но эту ветку я предлагаю решать построениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение09.12.2017, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2877
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1273331 писал(а):
Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.
Немецкие ученые установили, что неумеренное употребление Mapl и Matematica приводит к атрофии головного мозга и собираются приравнять эти продукты к алкоголю и наркотикам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение09.12.2017, 02:30 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
amon в сообщении #1273364 писал(а):

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1273331 писал(а):
Полагаю, что задачу 3 можно решить средствами аналитической геометрии, применяя Мэйпл, как здесь.
Немецкие ученые установили, что неумеренное употребление Mapl и Matematica приводит к атрофии головного мозга и собираются приравнять эти продукты к алкоголю и наркотикам.


(Оффтоп)

А у меня всю жизнь было естетсвенное отторжение любых видов наркотиков. Вот почему, проживая в самом марихуанистом Штате, я никогда не сталкивался с этими продуктами. :D

 Профиль  
                  
 
 Задача 4. Минимальный периметр в целых числах
Сообщение09.12.2017, 05:58 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Задача 4.
Пусть у нас есть тупоугольный треугольник $ABC$
Угол $C$ тупой, а угол $A$ в два раза больше угла $B$. Пусть все стороны - целые числа.
Найти минимальный периметр треугольника.

#911

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача 3
Сообщение09.12.2017, 11:41 


30/03/08
185
St.Peterburg
fred1996 в сообщении #1273316 писал(а):
У меня тут много накопилось задачек с треугольниками не шибко сложных, но и не совсем прозрачных. Все они взяты с олимпиад не самого нижнего уровня. Чтобы не забивать олимпиадную ветку одними треугольниками, наверное лучше задачи по ним я буду публиковать в одной теме.
Просьба к тем, кто решит задачи, просто публиковать решение под тегом off
Задача 3.
Пусть у нас имеется остроугольный треугольник $ABC$.
Нарисуем окружность с диаметром $AB$. Высота $CC'$ пересекает ее в точках $M, N$
Нарисуем окружность с диаметром $BC$. Высота $AA'$ пересекает ее в точках $P, Q$
Доказать, что эти точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности.

#905


(Оффтоп)

Изображение

$A_3H\cdot A_2H=BH\cdot HB_1=C_3H\cdot C_2H$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение10.12.2017, 14:24 
Заслуженный участник


17/09/10
1637
Задача 4 сводится к следующей: найти минимальный периметр для треугольников $(q^2,qp,p^2-q^2)$ если $p,q$ натуральные взаимно простые числа и $\sqrt{3}{q}<p<2q$.
Ответ: $p=7,q=4$, минимальный периметр треугольника равен $77$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение10.12.2017, 18:39 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
scwec в сообщении #1273654 писал(а):
Задача 4 сводится к следующей: найти минимальный периметр для треугольников $(q^2,qp,p^2-q^2)$ если $p,q$ натуральные взаимно простые числа и $\sqrt{3}{q}<p<2q$.
Ответ: $p=7,q=4$, минимальный периметр треугольника равен $77$.


Браво! :appl:

 Профиль  
                  
 
 Задача 5
Сообщение10.12.2017, 23:37 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Задача 5
Изображение
Задан произвольный треугольник $ABC$ и на его стороне $AB$ произвольная точка $D$
Проводим отрезок $CD$ и строим две вписанные опружности. Проводим вторую касательную к этим окружностям, которая пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Какую кривую описывает эта точка при перемещении точки $D$ по $AB$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники в треугольнике
Сообщение10.12.2017, 23:59 


05/09/16
2450

(Ответ, без решения)

fred1996
Окружность радиусом $CE$
В предельных положениях одна из вписанных окружностей начинает совпадать с вписанной в исходный треугольник окружностью, отсюда можно вычислить $CE$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group