Помогите с решением интегралов...

[lomaxe]

Помогите пожалуйста с решением трёх интегралов:

$$\int {\frac {dx} {1-x^2\sqrt{1+x^2}}}$$

$$\int {\frac {1-sin x +cos x} {1+sin x - cos x}}dx$$

$$\int {x\sqrt{x^2+2x+2}}dx$$

Я не имеюввиду, чтобы за меня решали, просто подскажите пожалуйста направление, в котором двигатья, а то что-то голова совсем не варит.

[Brukvalub]

В первом попробуйте гиперболическую замену, во втором представьте числитель в виде линейной комбинации знаменателя, производной знаменателя и константы, третий сводится к интегрированию частного от деления многочлена на корень из квадратного трёхчлена.

[lomaxe]

Посидел над третим интегралом. Вот что у меня вышло:

$$\int {x^}\sqrt{x^2+2x+2}dx = \int {\frac {x(x^2+2x+2)} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx=$$

$$=\int {\frac {x^3+2x^2+2x} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx = \int {\frac {x^3} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx + \int {\frac {2x^2+2x} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx$$

Далее я нашёл интеграл второго слагаемого:

$$\int {\frac {2x^2+2x} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx = \int {\frac {x(2x+2)} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx =$$

$$=(dv={\frac {2x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx; v=2\sqrt{x^2+2x+2}; u=x; du=dx;)=$$

[/math]

$$=2x\sqrt{x^2+2x+2}\ -\ 2\int {\sqrt{x^2+2x+2}}dx;$$

[/math]

Чтобы не загромождать, ищу отдельно:

$$\int {\sqrt{x^2+2x+2}}dx = (dv=dx; v=x; u=\sqrt{x^2+2x+2}; du= \frac {2x+2} {2\sqrt{x^2+2x+2}}) = $$

$$=x\sqrt{x^2+2x+2}\ -\ \int{\frac {x^2+x} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx =$$

$$ =x\sqrt{x^2+2x+2}\ -\ \int{\frac {x^2+2x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx\ + \int{\frac {x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx=$$

$$=x\sqrt{x^2+2x+2}\ -\int {\sqrt{x^2+2x+2}}dx+ \int{\frac {x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx$$

Отсюда:

$$2\int {\sqrt{x^2+2x+2}}dx=x\sqrt{x^2+2x+2}\ +\int{\frac {x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx=$$

$$=x\sqrt{x^2+2x+2}\ + \frac {1} {2} \int{\frac {2x+2} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx\ +\int \frac {dx} {\sqrt{x^2+2x+2}}=$$

$$=x\sqrt{x^2+2x+2}\ +\sqrt{x^2+2x+2}\ + \int {\frac {dx} {\sqrt{(x+1)^2+1}}}=$$

$$=(x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\ + ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}) $$

Учитывая все вышеприведённые решения, мы можем записать:

$$ \int {\frac {2x^2+2x} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx=(x-1)\sqrt{x^2+2x+2}\ - ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+2})$$

А вот как теперь найти интеграл:

$$\int {\frac {x^3} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx$$

ума не приложу.
Над остальными ещё надо подумать...

[Brukvalub]

Экий Вы огород вокруг этого интеграла развели Используйте лучше известное разложение с неопределенными коэффициентами:

\[ \int {\frac{{x^3 + 2x^2 + 2x}}{{\sqrt {x^2 + 2x + 2} }}} dx = (ax^2 + bx + c)\sqrt {x^2 + 2x + 2} + k\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 2x + 2} }}} \]

Продифференцируйте его, найдите неопределенные коэффициенты и доинтегрируйте "хвостик".

[RIP]

А я бы так этот интеграл брал:
$\int x\sqrt{x^2+2x+2}\,dx=\int (x+1)\sqrt{x^2+2x+2}\,dx-\int\sqrt{x^2+2x+2}\,dx.$
Первый интеграл берётся без труда, а второй табличный, по крайней мере у нас был.

[Brukvalub]

Красиво, ничего не скажешь! Но общему методу не учит

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

Экий Вы огород вокруг этого интеграла развели Используйте лучше известное разложение с неопределенными коэффициентами:

\[ \int {\frac{{x^3 + 2x^2 + 2x}}{{\sqrt {x^2 + 2x + 2} }}} dx = (ax^2 + bx + c)\sqrt {x^2 + 2x + 2} + k\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 2x + 2} }}} \]

Продифференцируйте его, найдите неопределенные коэффициенты и доинтегрируйте "хвостик".

Да я сам чувствую, что огород...попробую сейчас...

[Brukvalub]

Обратите внимание на пост RIPа! Полезно сразу учиться решать еще и элегантно, обыгрывая особенности конкретной задачи!

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

Обратите внимание на пост RIPа! Полезно сразу учиться решать еще и элегантно, обыгрывая особенности конкретной задачи!

Да, мне этот способ больше оказался понятным чем тот, который вы привели, хотя можно конечно и в вашем разобраться. Кстати, проверил я тот огород, который я развёл, с помощью програмки maxima. Оказалось, что и тот огород неправильно решён.Где-то допустил ошибку, и не пойму где.
Похоже я зациклился:)
Наверное перейду к следующим заданиям, а потом вернусь к этим...

[RIP]

lomaxe писал(а):

Где-то допустил ошибку, и не пойму где.

Проверьте аккуратно Ваши выкладки после слова "Отсюда".

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Да и про $+C$ не забывайте.

[lomaxe]

RIP писал(а):

Проверьте аккуратно Ваши выкладки после слова "Отсюда".
Да и про $+C$ не забывайте.

Спасибо вам большое за подсказку. Я тут принял душ, покушал, настроение поднялось, голова заварила и получилось найти все ошибки. Уже исправил И про $+C$ тоже постараюсь не забывать
Возможно, конечно, вся эта кухня и не понядобится, но по крайней мере интеграл вида:

$$\int {\sqrt{x^2+2x+2}}dx$$

уже найден и мучаться не придётся.
Теперь осталось два варианта. Или найти интеграл вида:

$$\int{ \frac {x^3} {\sqrt{x^2+2x+2}}}dx$$

или попробовать, что предложили в ветке. Наверное проще воспользоваться тем вариантом, что вы предложили.

[lomaxe]

И того, с одним решением разобрался.Спасибо всем, кто помогал.Решение в результате таково:

$$\int {x\sqrt{x^2+2x+2}}dx=\int {(x+1)\sqrt{x^2+2x+2}}dx\ - \int{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=$$

$$=\frac {1} {2} \int{(2x+2)\sqrt{x^2+2x+2}}dx\ - \int{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=$$

$$\frac {1} {3} \sqrt{(x^2+2x+2)^3}\ - \ \frac {1} {2}((x+1)\sqrt{x^2+2x+2}+ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}))+C$$

Осталось решить ещё два интеграла, и спать я буду спокойно

[Профессор Снэйп]

А почему в первой строчке минус, а не плюс?

[lomaxe]

Профессор Снэйп писал(а):

А почему в первой строчке минус, а не плюс?

Сорри, опечатка.Уже исправил:)

[lomaxe]

После долгих и безрезультатных мучений, мне всё-так в голову пришло прозрение, и интеграл с косинусами и синусами был решён.Как говорится - если долго мучится, то что-нибудь получится:) Решается он на удивление довольно-таки просто:

$$\int {\frac {1-sinx+cosx} {1+sinx-cosx} }dx= \int {\frac {(1-sinx+cosx)(1-sinx+cosx)} {(1+sinx-cosx)(1-sinx+cosx)} }dx=$$

$$\int {\frac {2-2sinx+2cosx-2sinxcos} {2sinxcosx} }dx= \int {\frac {dx} {sinxcosx}}-\int {\frac {dx} {cosx}}+\int {\frac {dx} {sinx}}-\int dx+C$$

Находя каждый интеграл в отдельности получим:

$$\int {\frac {dx} {sinxcosx}}=ln(sinx)-ln(cosx)+C$$

$$\int {\frac {dx} {cosx}}=\frac {1} {2}(ln(1+sinx)-ln(1-sinx))+C$$

$$\int {\frac {dx} {sinx}}=\frac {1} {2}(ln(1-cosx)-ln(1+cosx))+C$$

$$\int dx=x+C$$

Из вышеприведённых решений можно записать что:

$$\int {\frac {1-sinx+cosx} {1+sinx-cosx} }dx=ln(sinx)-ln(cosx)-\frac {1} {2}(ln(1+sinx)-ln(1-sinx))+$$

$$+\frac {1} {2}(ln(1-cosx)-ln(1+cosx))-x+C$$