Помогите с решением интегралов...

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

В первом попробуйте гиперболическую замену, во втором представьте числитель в виде линейной комбинации знаменателя, производной знаменателя и константы, третий сводится к интегрированию частного от деления многочлена на корень из квадратного трёхчлена.

Скажите пожалуйста, под гиперболической заменой вы имеете ввиду

$$t=\sqrt{1+x^2}$$

?

[Brukvalub]

Нет, я предлагал заменить переменную удобной гиперболической функцией. Например, попробовать

\[x = sh(t)\]

[nefus]

В первом можно замену x=tg(t), а потом sin(t)=z.
Во втором довести до вида I = Int(dx/(1+sin(x)-cos(x))) - x, а потом замену tg(x/2)=t
А в третьем довести до вида I = (1/3)*(x^2+2x+2)^(3/2) - Int(sqrt((x+1)^2+1)d(x+1)). Ну а дальше там просто (x+1=tg(t)), и т.д. ....
sqrt-корень квадратный.
А с первым наверное я погорячился, действительно попробуй x=sh(t)
З.Ы.: Так и не понял как в этом форуме формулы писать. Господа как работает тег Math?

[lomaxe]

nefus писал(а):

В первом можно замену x=tg(t), а потом sin(t)=z.
Во втором довести до вида I = Int(dx/(1+sin(x)-cos(x))) - x, а потом замену tg(x/2)=t
А в третьем довести до вида I = (1/3)*(x^2+2x+2)^(3/2) - Int(sqrt((x+1)^2+1)d(x+1)). Ну а дальше там просто (x+1=tg(t)), и т.д. ....
sqrt-корень квадратный.
А с первым наверное я погорячился, действительно попробуй x=sh(t)
З.Ы.: Так и не понял как в этом форуме формулы писать. Господа как работает тег Math?

Спасибо за подсказки. В первом кстати, я вчера так и сделал замену:

$$x=tgx$$

И решил этот интеграл довольно просто. Но я всё-такуи попробую сделать замену

$$x=sh(t)$$

и перерешать. Просто как-то в жизни с этой функцией не сталкивался, поэтому проблематично сообразить Позже распишу как у меня всё вышло...
По поводу пользования тегами math читайте здесь

[Andrey_SR]

Как уже предлагал Brukvalub, второй интеграл можно вычислить следующим образом

$$\int \frac{1-\sin{x}+\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx=A\int \frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx+B\int \frac{\cos{x}-\sin{x}}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx+C=Ax+B\int \frac{d\left(1+\sin{x}-\cos{x}\right)}{1+\sin{x}-\cos{x}}dx+C$$

, приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях находят A и B

[Someone]

Вы в производной знаменателя один знак перепутали. Правильно будет, как писал Brukvalub, $1-\sin x+\cos x=A(1+\sin x-\cos x)+B(\cos x+\sin x)+C$:

Brukvalub писал(а):

представьте числитель в виде линейной комбинации знаменателя, производной знаменателя и константы

[nefus]

В первом все-таки через x=tg(t) получилось?
Отпишитесь, пожалуйста...

[lomaxe]

nefus писал(а):

В первом все-таки через x=tg(t) получилось?
Отпишитесь, пожалуйста...

Нет, я погорячился...С заменой $t=tg(x)$ ничего не вышло.Я просто от невнимательности сделал ошибку при решении интеграла, и у меня всё так складно получилось, аж душа зарадовалась. Но потом я понял, что попал впросак:)

С подстановкой $x=sh(t)$ тоже что-то ничего толкового не выходит.Может кто-нибудь что-нибудь подскажет?

[Brukvalub]

lomaxe писал(а):

С подстановкой $x=sh(t)$ тоже что-то ничего толкового не выходит.

Напишите, что у Вас получилось с такой подстановкой.

[Someone]

lomaxe писал(а):

С подстановкой $x=sh(t)$ тоже что-то ничего толкового не выходит.Может кто-нибудь что-нибудь подскажет?

Может быть, на самом деле интеграл был такой: $\int\frac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}}$?

[lomaxe]

Brukvalub писал(а):

Напишите, что у Вас получилось с такой подстановкой.

Получилась у меня такая штука:

$$\int \frac {dx} {1-x^2\sqrt{x^2+1}}=(x=sh(t);dx=ch(t)dt)=$$

$$=\int \frac {ch(t)dt} {1-sh^2(t)\sqrt{sh^2(t)+1}}=\int \frac {ch(t)dt} {1-sh^2(t)ch(t)}$$

Что делать дальше пока не могу сообразить. Может надо как-то по другому?...

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:

Someone писал(а):

Может быть, на самом деле интеграл был такой: $\int\frac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}}$?

Да нет, у меня вот на компе все эти задания отсканированные лежат, в институте печатали. Возможно они могли ошибиться, потому что я тут просматривал примеры решения, там есть ошибки. Кто его знает?...Их там не разберёшь, ошибка то или нет...

[Someone]

Можно получить интеграл от рациональной функции с помощью подстановки Эйлера $\sqrt{x^2+1}=t+x$. Но ничего приятного не будет:

$$\int\frac{dx}{1-x^2\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{4t(t^2+1)dt}{t^6-t^4-8t^3-t^2+1}$$

.
К сожалению, корни знаменателя иррациональные, хотя и выражаются через радикалы. При большом упорстве вычисления можно довести до конца, но...
Интересно, что если бы в числителе вместо множителя $t^2+1$ получился множитель $t^2-1$, то подстановкой $y=t+\frac 1t$ интеграл сводился бы к

$$\int\frac{4dy}{y^3-4y-8}$$

.
Это выглядит приятнее, но тоже удовольствие ниже среднего. К тому же, это только мечты...

Поскольку у Вас учебная задача, то наверняка в условии опечатка. Вы поинтересуйтесь у преподавателя, который выдавал задания.

[lomaxe]

Someone писал(а):

Поскольку у Вас учебная задача, то наверняка в условии опечатка. Вы поинтересуйтесь у преподавателя, который выдавал задания.

К счастью, это не я учусь, а мой знакомый студент-заочнк, которому я помогаю.
Надо бы ему точно сказать, чтобы он у своего преподавателя спросил.
На счёт опечатки у меня тоже вчера подозрение появмилось. У меня стоит программа maxima, и она просто не хочет этот интеграл вычислять в общем виде.
Возможно и решения как такового, этого интеграла в общем виде нет.