Самый неточечный объект

[reterty]

Давно "балуюсь" со следующей проблемой: "Найти форму материального объекта, который на больших расстояниях по сравнению со своими характерными размерами давал бы наибольшее отклонения от напряженности гравитационного поля материальной точки с той же массой, помещенной в центре мас даного объекта.
Первым шагом на пути решения этой задачи было отыскания поля бесконечно тонкого стержня единичной длины (по симметрии поле этого обьекта наиболее отличается от центрально симметричного). На удивление, это поле в "худшем случае"(направление перпендикулярное середине стержня) давало погрешность в 5% в сравнении с полем точечной массы уже на расстоянии примерно равном двум длинам стержня (не так уж "неточечен неточечный стержень"!) ). Далее я посчитал поле равномерного заряженного кольца для разных направлений. Из-за зануления поля в центре кольца оно оказалось "лучшим кандидатом" на эту роль. Один знакомый для случая точечного заряда предложил мне искать эту систему среди дискретных, а именно: заряженный диполь, у которого один из зарядов много меньше по модулю другого. А что по этому поводу думаете Вы?

[Dmitriy40]

Объект предполагается статичным? Или можно взять два и более массивных быстро вращающихся вокруг общего центра масс объекта (сливающиеся чёрные дыры, ага) и поле даже на достаточно большом удалении будет содержать переменную составляющую. А может быть (тут считать надо, не умею) и вообще амплитуда колебаний везде будет превышать поле точечного источника суммарной массы.
UPD. Т.е. "гантеля" вроде бы выглядит ещё более неточечной чем однородный стержень.

[reterty]

Объект статичен

-- Чт ноя 16, 2017 22:39:14 --

Dmitriy40 в сообщении #1265896 писал(а):

Объект предполагается статичным? Или можно взять два и более массивных быстро вращающихся вокруг общего центра масс объекта (сливающиеся чёрные дыры, ага) и поле даже на достаточно большом удалении будет содержать переменную составляющую. А может быть (тут считать надо, не умею) и вообще амплитуда колебаний везде будет превышать поле точечного источника суммарной массы.
UPD. Т.е. "гантеля" вроде бы выглядит ещё более неточечной чем однородный стержень.

"Перемычка" гантели предполагается при этом безмассовой и абсолютно тонкой?

-- Чт ноя 16, 2017 22:40:59 --

Размеры и массы шаров гантели одинаковы?....В общем, опять нужен счет

[Walker_XXI]

Смотрите в сторону "мультипольного разложения".

[reterty]

Walker_XXI в сообщении #1265902 писал(а):

Смотрите в сторону "мультипольного разложения".

Мультипольное разложение же вроде как для электронейтрального обьекта.... а наш объект имеет массу или ненулевой суммарный заряд

[Dmitriy40]

reterty в сообщении #1265897 писал(а):

"Перемычка" гантели предполагается при этом безмассовой и абсолютно тонкой?

Да. В том смысле что её массой и размерами (кроме длины) по сравнению с шарами можно пренебречь.
Массы шаров одинаковы. Их неравенство лишь уменьшает "ассиметрию".
Правда подумав ещё я уже не уверен что в дальней зоне поле гантели будет существенно отличаться от поля стержня. Так что предложение позиционирую скорее как малограмотное.

[g______d]

reterty в сообщении #1265904 писал(а):

Мультипольное разложение же вроде как для электронейтрального обьекта.... а наш объект имеет массу или ненулевой суммарный заряд

Можно прибавить и вычесть заряд в центре, тогда оставшееся будет электронейтрально.

-- Чт, 16 ноя 2017 12:40:06 --

Собственно, я тут прикинул, что для системы положительных масс, если добавить соответствующую отрицательную массу в центр масс, суммарный дипольный момент будет равен нулю. Т. е. асимптотически это будет точечный заряд в центре + члены, начиная с квадрупольного момента (который уже скорее всего нулю не равен), его-то и надо максимизировать. Он будет тензором, поэтому нужно ещё договориться, что именно мы максимизируем.

[amon]

Если воспользоваться, как тут правильно предложил Walker_XXI мультипольным разложением потенциала относительно центра масс

$$\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}=\sum \frac{(-1)^n}{n!}y_{i_1}\dots y_{i_n}\partial_{i_1}\dots\partial_{i_n} \frac{1}{|\mathbf{x}|},$$

то понятно, что на больших расстояниях надо максимизировать первый неисчезающий мультипольный момент. Дипольный момент относительно центра масс ноль по определению центра масс. Стало быть, надо максимизировать квадрупольный момент. Какое тело заданного объёма имеет максимальный квадрупольный момент я, честно говоря, не знаю.

[Ruslan_Sharipov]

reterty в сообщении #1265893 писал(а):

Найти форму материального объекта, который на больших расстояниях по сравнению со своими характерными размерами давал бы наибольшее отклонение от напряженности гравитационного поля материальной точки с той же массой, помещенной в центре масс данного объекта.

Надо уточнить формулировку, в каком смысле наибольшее отклонение. Вдоль какого-то фиксированного луча или усреднённо по полному телесному углу.

[reterty]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1348433 писал(а):

reterty в сообщении #1265893 писал(а):

Найти форму материального объекта, который на больших расстояниях по сравнению со своими характерными размерами давал бы наибольшее отклонение от напряженности гравитационного поля материальной точки с той же массой, помещенной в центре масс данного объекта.

Надо уточнить формулировку, в каком смысле наибольшее отклонение. Вдоль какого-то фиксированного луча или усреднённо по полному телесному углу.

А здесь задача распадается на две подзадачи, как Вы правильно заметили. В силу того, что квадрупольный момент -тензор второго ранга то можно говорить и о выделенном направлении
и об "усредненной девиации". Я пробовал подобраться к решению данной задачи вариационным методом для обьекта с симметрией $D_{\infty h}$, т.е в случае центросимметричного и осесимметричного обьекта, но пока "застрял"...

-- Вт окт 23, 2018 00:23:51 --

.....тут еще можно играться и с разными топологиями

[fred1996]

Похожую задачку обсуждали тут:
topic115701.html

[Ruslan_Sharipov]

reterty в сообщении #1348448 писал(а):

Я пробовал подобраться к решению данной задачи вариационным методом

Начните со сфероподобного тела $r=r(\theta,\varphi)$ и устройте вариацию $r=r+\delta r(\theta,\varphi)$ в сферических координатах.

[reterty]

fred1996 в сообщении #1348462 писал(а):

Похожую задачку обсуждали тут:
topic115701.html

Эта задача только на первый взгляд сходна с обсуждаемой в данном топике

[reterty]

Хорошо, а давайте попробуем сначала задачу "дискретизировать". То есть
рассмотрим систему точечных зарядов $q_i$, так что суммарный заряд ее не равен нулю.
Число частиц $N$ и их конфигурация может меняться. Необходимо побрать такую систему,
чтобы ее три компоненты тензора квадрупольного момента были максимальны при фиксированном характерном
размере системы и суммарном заряде. Для простоты рассмотри сначала центросимметричную конфигурацию
(двигаться от простого к сложному).

[reterty]

Рассмотрим сферу радиуса $R$ и позволим нашему материальному обьекту менять свои размеры лишь в пределах этой "фиксированной" сферы. Введем сферическую систему координат с полярной осью $z$ и для простоты предположим, что эта ось является осью симметрии тела порядка выше второго (см. ЛЛ, т.2, параграф 41). Тогда для компоненты тензора квадрупольного момента $Q_{zz}$ будем иметь:

$$dQ_{zz}=r^2(3\cos^2 \theta-1)\rho dV.$$

Но

$$dm=\rho dV.$$

Тогда для удельного (дифференциального) квадрупольного момента получим:

$$\frac{dQ_{zz}}{dm}=r^2(3\cos^2 \theta-1).$$

Из последнего выражения видно что предельные значение искомой величины достигается при $r=R$ и
а) $\theta=0, \pi$ ($\frac{dQ_{zz}}{dm}>0 $; максимально "вытянутый" обьект-две точечные массы, расположенные на оси $z$ на расстоянии $2R$; а-ля двойная звезда с эквивалентными массами);
б) $\theta=\pi/2$ ($\frac{dQ_{zz}}{dm}<0 $; максимально "сплюснутый" обьект-бесконечно тонкое кольцо, расположенное перпендикулярно оси $z$ с радиусом $R$ или система дискретных зарядов, описанная в топике topic131408.html)