Максимальная гравитация

[fred1996]

Пусть у нас есть вещество постоянной плотности объемом $V$.
Пусть у нас задана точка $P=(0,0,0)$
Как надо распределить вещество в пространстве, чтобы гравитация в точке $P$ была максимальной в положительном направлении $x$?

[arseniiv]

Надо заполнить веществом некую область такого объёма, ограниченную одной из поверхностей $xr^{-3} = \mathrm{const}$, $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Обоснование: это поверхности уровня компоненты $g_x$ ускорения свободного падения в интересующей точке точечной массы, помещённой в начало координат (ну или наоборот, как нас интересует). На счастье эти поверхности ограничивают множества конечных объёмов, притом для каждого объёма есть ровно две, дающие соответствующее множество — «левое» и «правое», из которых мы выберем второе по условию.

-- Чт фев 16, 2017 08:11:10 --

Я только не знаю, что это за поверхности такие тыквообразные, есть ли у них какое-то имя и интересные свойства — получил о них представление в СКА, а не вручную.

[fred1996]

Уравнение поверхности вращения $xr^{-3} = \mathrm{const}$
действительно верное. Я только не понял вашего обоснования.
На самом деле эта поверхность описывается более конкретным уравнением $F(x,y)=0$
И даже поддается численному сравнению с формой шара того же объема.

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1193070 писал(а):

Уравнение поверхности вращения $xr^{-3} = \mathrm{const}$
действительно верное. Я только не понял вашего обоснования.

Подробнее: любая точка на одной и той же линии уровня этой функции будет давать одинаковое значение $g_x$, так что чтобы добиться его максимально рассредоточенным распределением вещества, надо равномерно заполнить всю эту линию уровня. Но дано вещество только с объёмной плотностью, а не с линейной, так что надо скомбинировать какую-то кучу линий уровня, чтобы полученное множество имело ненулевой объём. У нас получается набор всевозможных распределений вещества, среди которых остаётся выбрать то, в которое входят линии наибольшего уровня, и это значит, что надо набрать их от какого-то конечного $g_x = a$ до $g_x = +\infty$ (достигающегося в $\mathbf r=\mathbf0$). Получающаяся область ограничена линией уровня именно $g_x = a$.

Тут куча всего, конечно, вопит о математической строгости, но раз раздел физический…

[fred1996]

Принимается.
Но все-же с уравнением $xr^-^3=\operatorname{const}$
Непонятно как работать.
Для начала предлагаю вам переписать его в более "шарообразном" виде: $r^3=b^2x$
Ну и потом бесконечных ускорений у нас не получится.
Вещество имеет постоянную конечную объемную плотность. Никаких точечных или линейных плотностей.
А вот шарообразную форму уже можно и проанализировать. Сосчитать, например, объем, пределы по $x$ и по $y$

Я эту задачку подсмотрел у David Morin. Classical Mechanics. В разделе Exercises. Там где задачки даются без решений и ответов.

[wrest]

Хоть бы картинку, что ли, запостили как эта "тыква" выглядит.

[fred1996]

wrest в сообщении #1193117 писал(а):

Хоть бы картинку, что ли, запостили как эта "тыква" выглядит.

Ну а самому то слабо сосчитать?

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1193113 писал(а):

Ну и потом бесконечных ускорений у нас не получится.
Вещество имеет постоянную конечную объемную плотность. Никаких точечных или линейных плотностей.

Согласен, разумеется, раз объём конечный ненулевой и плотность — константа.

[Munin]

Задачка была в "Кванте", и даже поверхность там эту нарисовали. В общем, шар, приплюснутый полуплоскостью, на которой находится интересующая нас точка.

[SergeyGubanov]

Wolfram Alpha RegionPlot[(x^2 +y^2)^(3/2)==x, {x,0,1}, {y, -1, 1}]

[fred1996]

(расчет параметров фигуры тут)

$r^3=b^2x$
Пусть $b=1$
Тогда имеем:
$r^2=x^\frac{2}{3}$
Или:
$y^2=x^\frac{2}{3}-x^2$
Нетрудно видеть, что эта функция ограничена точками 0 и 1 в которых имеет производную $\infty$
Из ее вида просто находится ее объем:
V = $\int\limits_{0}^{1}\pi y^2dx=\pi\int\limits_{0}^{1}(x^\frac{2}{3}-x^2)dx$=$\frac{4\pi}{15}$
Учитывая, что диаметр капли объема V равен $D=(6V/\pi)^\frac{1}{3}=(8/5)^\frac{1}{3}\approx 1.17$
Далее, приравняв производную нулю, получим максимум для $y$ будет в точке $3^-^\frac{3}{4}\approx0.44$ и равен $(4/27)^\frac{1}{3}\approx0.62$ то есть вертикальный диаметр равен 1.24
Окончательно получаем, если взять каплю диаметром 1, то ее надо сплюснуть в направлении $x$ с к-том 1/1.17=0.85 и растянуть по $y$ с к-том 1.24/1.17 = 1.06.
"Центр" этой фигуры вращения будет смещен на 0.06 от ее горизонтального диаметра влево.
А картинку можно посмотреть в предыдущем сообщении

[dovlato]

Исходим из того, что произвольный беск. малый кусочек этой массы, перемещаясь по оптимальной поверхности тела,
должен создавать одну и ту же горизонтальную составляющую силы тяготения:

$$\frac{\cos\alpha}{r^2(\alpha)}=\operatorname{const}=\frac1{a^2}$$

$$r(\alpha)=a\sqrt{\cos(\alpha)}$$