Маленький вопрос по методу хорд и касательных (точ. по f(x))

[XoxoT]

Всем доброго дня, есть у меня глупый вопрос чуть ли не из школьного курса. Есть задание - методом хорд и касательных решить с заданной точностью уравнение:

$f(x)=x^{4}-5x-7=0$

Лично для меня задание простое, но вот уравнение не самое приятное. Пытаюсь найти диапазон, где лежит его корень: нахожу производную:

$f'(x)=4x^{3}+5=0$

и нахожу корень данного уравнения:

$\pm \sqrt[3]{-\frac{5}{4}}$

Ответ очень неудобный, в нём, возможно, ошибка. Что я делаю не так?
Wolframalpha нашёл такой диапазон: [-2.0359, 1.1035], но не могу понять, как он его получил.

[Sender]

В выражении для производной у вас ошибка.
Да и кубический корень вы как-то странно извлекаете, не пробовали подставить получившиеся значения в ваше выражение для производной?

[iifat]

Единственное, по-моему, неудобство состоит в том, что вы неправильно нашли производную. Ах да, и корни неправильной производной нашли тоже неправильно.
А зачем вам, стесняюсь спросить, производная?

[XoxoT]

Прошу прощения, да, перепутал знак:
$f'(x)=4x^{3}-5=0$
Таким образом, корень:
$\sqrt[3]{\frac{5}{4}}$

iifat в сообщении #1264951 писал(а):

А зачем вам, стесняюсь спросить, производная?

А разве не так находятся области, где находятся корни? Это ведь нужно для, собственно, выполнения главного задания.

-- 13.11.2017, 14:35 --

Пробовал решить главное уравнение, приравняв его к нулю, но что-то запутался (забыл уже школьную алгебру).

[svv]

XoxoT в сообщении #1264948 писал(а):

Wolframalpha нашёл такой диапазон: [-2.0359, 1.1035], но не могу понять, как он его получил.

Это не диапазон. Это приближённые значения двух вещественных корней. Каким методом WolframAlpha их находил — знает только он сам.

[XoxoT]

svv в сообщении #1264954 писал(а):

XoxoT в сообщении #1264948 писал(а):

Wolframalpha нашёл такой диапазон: [-2.0359, 1.1035], но не могу понять, как он его получил.

Это не диапазон. Это приближённые значения двух вещественных корней. Каким методом WolframAlpha их находил — знает только он сам.

Разве с его помощью нельзя найти диапазон? Это корни $f(x)$, если приравнять её к $0$.

-- 13.11.2017, 14:56 --

Пытался подобрать разные диапазоны - от $[-1, 1]$ до $[-100, 100]$, $f(a)\cdot f(b)$ всегда больше нуля. Значит ли это, что у уравнения нет корней?

[svv]

Конечно, можно. Вам дают готовые корни, Вы по ним определяете диапазон, применяете метод и получаете те же корни!
Там по методу ещё требуется постоянство знака второй производной. Ну и, самое главное, — чтобы сама функция на концах диапазона имела разные знаки.

[XoxoT]

svv в сообщении #1264957 писал(а):

Конечно, можно. Вам дают готовые корни, Вы по ним определяете диапазон, применяете метод и получаете те же корни!
Там по методу ещё требуется постоянство знака второй производной. Ну и, самое главное, — чтобы сама функция на концах диапазона имела разные знаки.

А, так это уже найденные корни? Значит, они всё-таки есть и моя теория об их отсутствии неверна.

В общем, я сильно запутался в поиске $[a,b]$.

[svv]

XoxoT в сообщении #1264955 писал(а):

Пытался подобрать разные диапазоны - от $[-1, 1]$ до $[-100, 100]$, $f(a)\cdot f(b)$ всегда больше нуля. Значит ли это, что у уравнения нет корней?

$f(a)$ будет меньше нуля, если $a$ будет между двумя корнями, которые приближённо нашёл Вольфрам.
Вообще, постройте в Вольфраме график функции $x^4-5x-7$, всё будет понятно.

[XoxoT]

svv в сообщении #1264959 писал(а):

XoxoT в сообщении #1264955 писал(а):

Пытался подобрать разные диапазоны - от $[-1, 1]$ до $[-100, 100]$, $f(a)\cdot f(b)$ всегда больше нуля. Значит ли это, что у уравнения нет корней?

$f(a)$ будет меньше нуля, если $a$ будет между двумя корнями, которые приближённо нашёл Вольфрам.
Вообще, постройте в Вольфраме график функции $x^4-5x-7$, всё будет понятно.

Я это уже делал (подставлял $0$ в $f(x)$ и строил график $f(x)$), но мне всё ещё непонятно.
Я просто не могу понять, как найти диапазоны.

[svv]

Вторая производная должна сохранять знак в диапазоне. $f''(x)=0$ только в $x=0$, а по обе стороны от нуля она положительна (корень кратный).
Первая производная должна сохранять знак в диапазоне. Вы нашли её корень: $x_0=\sqrt[3]{\frac{5}{4}}$. Слева от корня она отрицательна, справа положительна (исходя из знака второй производной). А сама функция в точке $x_0$ какой знак имеет?

[XoxoT]

svv в сообщении #1264962 писал(а):

Вторая производная должна сохранять знак в диапазоне. $f''(x)=0$ только в $x=0$, а по обе стороны от нуля она положительна (корень кратный).
Первая производная должна сохранять знак в диапазоне. Вы нашли её корень: $x_0=\sqrt[3]{\frac{5}{4}}$. Слева от корня она отрицательна, справа положительна (исходя из знака второй производной). А сама функция в точке $x_0$ какой знак имеет?

По приблизительным расчётам, $f(x_{0})\approx -0,2674$

[svv]

В то же время, если взять достаточно большое $x_1$, будет $f(x_1)>0$. Скажем, уже $f(3)>0$. Значит, между $x_0$ и $x_1$ ...

[iifat]

XoxoT в сообщении #1264955 писал(а):

от $[-1, 1]$ до $[-100, 100]$, $f(a)\cdot f(b)$ всегда больше нуля. Значит ли это, что у уравнения нет корней?

Значит, вообще говоря, что на отрезке чётное (с учётом кратности) число корней. 0 — число чётное, так что вполне возможно (исходя чисто из ваших данных). Попробуйте $[0, 100]$, кстати говоря.
Либо уж из пушки — почитайте про полиномы Штурма. Будете всегда знать точное количество.

[svv]

Я тут недосмотрел, у Вас ещё знаки корней перепутаны: $-1.1035$ и $2.0359$.