2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 06:54 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Как легко считается, если планета имеет постоянную плотность, сила гравитации внутри нее пропорциональна расстоянию до центра. Но в реальных планетах обычно плотность возрастает к центру. Пусть нам задана функциональная зависимость плотности планеты от расстояния до центра $\rho_1(r)$ и средняя плотность в шаре радиуса $r$ $\rho_2(r)$. То есть считается что эти две функции сферически симметричны.
При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки, в которых при приближении к центру планеты сила гравитации увеличивается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 08:36 
Заслуженный участник


20/08/14
11062
Россия, Москва
А разве функции $\rho_1$ и $\rho_2$ независимы? Разве вторая это не интеграл первой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 08:55 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
fred1996
Выше верно заметили, что средняя плотность в шаре - это интеграл от $\rho_1$, деленный на объем шара. Возможно, имелась в виду средняя плотность все планеты или еще что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Конечно зависимы. Но это не отменяет смысла задачи.
Если брать просто среднюю по планете, задачка потеряет смысл. Ну то есть не будет четкого критерия. А он есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:00 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM в сообщении #1261067 писал(а):
Выше верно заметили, что средняя плотность в шаре - это интеграл от $\rho_1$, деленный на объем шара


Выше забыли поделить интеграл на объем шара.

ИМХО, fred1996 ввел $\rho_1$ и $\rho_2$ для сведения задачи к школьной.

Ответ: при $\rho_1 = \rho_2$ сила гравитации будет постоянна по модулю. UPD: двойку потерял :-( $\rho_1 = 2 \rho_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:04 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Если что, задача не моя. Я ее взял из достаточно известного в узких кругах учебника.
Просто натаскиваю одного олимпиадника на задачи по гравитации. Эта мне показалась любопытной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:20 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
fred1996

Можно такую задачу предложить:
1. Есть шар массой $M$ радиуса $R_0$
2. Распределение плотности внутри шара - сферически симметричное.
3. Какое распределение плотности должно быть в шаровом слое $R_0<r<R_1$, чтобы в этом слое модуль силы гравитации не зависел от $r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:24 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS в сообщении #1261070 писал(а):
Ответ: при $\rho_1 = \rho_2$ сила гравитации будет постоянна по модулю. UPD: двойку потерял :-( $\rho_1 = 2 \rho_2$

Поскольку
$$\int\limits_0^{r_0}\rho_1 r^2dr=\int\limits_0^{r_0}\rho_2 r^2dr$$
для любого $r_0$, условие $\rho_1 = 2 \rho_2$ невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:31 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM в сообщении #1261077 писал(а):
для любого $r_0$, условие $\rho_1 = 2 \rho_2$ невозможно.


Для любого $r_0$ - невозможно. Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть. Равенство интегралов, совсем не означает равенство функций на всей области определения. Найдутся участки где может быть одна больше другой (любая) и даже в два и более раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:35 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
EUgeneUS в сообщении #1261079 писал(а):
Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть.

Тогда нужно указать, какие это участки. Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\rho_1<\dfrac{2}{3}\rho_2$, а в центре особенность вида дельта-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:45 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
EUgeneUS в сообщении #1261075 писал(а):
fred1996

Можно такую задачу предложить:
1. Есть шар массой $M$ радиуса $R_0$
2. Распределение плотности внутри шара - сферически симметричное.
3. Какое распределение плотности должно быть в шаровом слое $R_0<r<R_1$, чтобы в этом слое модуль силы гравитации не зависел от $r$.


Не, ну эта задачка совсем простая.
$\rho=\frac Cr$
А чтобы согласовать с внутренностью шара $R_0$, его масса должна быть $2\pi CR_0^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:48 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM в сообщении #1261080 писал(а):
Тогда нужно указать, какие это участки.


Это те участки, где выполняется нужное соотношение "локальной" и "интегральной" плотностей.

DimaM в сообщении #1261080 писал(а):
Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.


Согласен. Запутался с коэффициентами. Чуть позже, пересчитаю своё решение в более спокойной обстановке, не на бегу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:48 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
DimaM в сообщении #1261080 писал(а):
EUgeneUS в сообщении #1261079 писал(а):
Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть.

Тогда нужно указать, какие это участки. Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\rho_1<\dfrac{2}{3}\rho_2$, а в центре особенность вида дельта-функции.


Все правильно. Собственно, вопрос то был - найти участки, где это верно. А что там в центре - не суть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 09:50 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
fred1996 в сообщении #1261085 писал(а):
А что там в центре - не суть.

(Оффтоп)

В центре там треть массы в нулевом объеме. Ничего себе "не суть"! :wink:


-- 01.11.2017, 13:51 --

Более реалистичной мне представляется двухплотностная модель: ядро с высокой плотностью и оболочка с более низкой. Найти, например, максимальное $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сила притяжения внутри планет
Сообщение01.11.2017, 10:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
DimaM в сообщении #1261086 писал(а):
fred1996 в сообщении #1261085 писал(а):
А что там в центре - не суть.

(Оффтоп)

В центре там треть массы в нулевом объеме. Ничего себе "не суть"! :wink:


-- 01.11.2017, 13:51 --

Более реалистичной мне представляется двухплотностная модель: ядро с высокой плотностью и оболочка с более низкой. Найти, например, максимальное $g$.


Ну так правильно. Вы сначала и задаете плотное ядро, а потом наращиваете сверху менее плотной оболочкой. Там где $\rho_1<\frac23\rho_2$, там и выполняется условие. Я же не ставлю условие, чтобы сила притяжения везде увеличивалась при приближении к центру. Посмотрите условие задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group