Сила притяжения внутри планет

[fred1996]

Как легко считается, если планета имеет постоянную плотность, сила гравитации внутри нее пропорциональна расстоянию до центра. Но в реальных планетах обычно плотность возрастает к центру. Пусть нам задана функциональная зависимость плотности планеты от расстояния до центра $\rho_1(r)$ и средняя плотность в шаре радиуса $r$ $\rho_2(r)$. То есть считается что эти две функции сферически симметричны.
При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки, в которых при приближении к центру планеты сила гравитации увеличивается?

[Dmitriy40]

А разве функции $\rho_1$ и $\rho_2$ независимы? Разве вторая это не интеграл первой?

[DimaM]

fred1996
Выше верно заметили, что средняя плотность в шаре - это интеграл от $\rho_1$, деленный на объем шара. Возможно, имелась в виду средняя плотность все планеты или еще что-то другое.

[fred1996]

Конечно зависимы. Но это не отменяет смысла задачи.
Если брать просто среднюю по планете, задачка потеряет смысл. Ну то есть не будет четкого критерия. А он есть.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1261067 писал(а):

Выше верно заметили, что средняя плотность в шаре - это интеграл от $\rho_1$, деленный на объем шара

Выше забыли поделить интеграл на объем шара.

ИМХО, fred1996 ввел $\rho_1$ и $\rho_2$ для сведения задачи к школьной.

Ответ: при $\rho_1 = \rho_2$ сила гравитации будет постоянна по модулю. UPD: двойку потерял $\rho_1 = 2 \rho_2$

[fred1996]

Если что, задача не моя. Я ее взял из достаточно известного в узких кругах учебника.
Просто натаскиваю одного олимпиадника на задачи по гравитации. Эта мне показалась любопытной.

[EUgeneUS]

fred1996

Можно такую задачу предложить:
1. Есть шар массой $M$ радиуса $R_0$
2. Распределение плотности внутри шара - сферически симметричное.
3. Какое распределение плотности должно быть в шаровом слое $R_0<r<R_1$, чтобы в этом слое модуль силы гравитации не зависел от $r$.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1261070 писал(а):

Ответ: при $\rho_1 = \rho_2$ сила гравитации будет постоянна по модулю. UPD: двойку потерял $\rho_1 = 2 \rho_2$

Поскольку

$$\int\limits_0^{r_0}\rho_1 r^2dr=\int\limits_0^{r_0}\rho_2 r^2dr$$

для любого $r_0$, условие $\rho_1 = 2 \rho_2$ невозможно.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1261077 писал(а):

для любого $r_0$, условие $\rho_1 = 2 \rho_2$ невозможно.

Для любого $r_0$ - невозможно. Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть. Равенство интегралов, совсем не означает равенство функций на всей области определения. Найдутся участки где может быть одна больше другой (любая) и даже в два и более раза.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1261079 писал(а):

Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть.

Тогда нужно указать, какие это участки. Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\rho_1<\dfrac{2}{3}\rho_2$, а в центре особенность вида дельта-функции.

[fred1996]

EUgeneUS в сообщении #1261075 писал(а):

fred1996

Можно такую задачу предложить:
1. Есть шар массой $M$ радиуса $R_0$
2. Распределение плотности внутри шара - сферически симметричное.
3. Какое распределение плотности должно быть в шаровом слое $R_0<r<R_1$, чтобы в этом слое модуль силы гравитации не зависел от $r$.

Не, ну эта задачка совсем простая.
$\rho=\frac Cr$
А чтобы согласовать с внутренностью шара $R_0$, его масса должна быть $2\pi CR_0^2$

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1261080 писал(а):

Тогда нужно указать, какие это участки.

Это те участки, где выполняется нужное соотношение "локальной" и "интегральной" плотностей.

DimaM в сообщении #1261080 писал(а):

Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.

Согласен. Запутался с коэффициентами. Чуть позже, пересчитаю своё решение в более спокойной обстановке, не на бегу.

[fred1996]

DimaM в сообщении #1261080 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1261079 писал(а):

Для некоторых ("При каких соотношениях этих двух функций найдутся участки...") - вполне себе может быть.

Тогда нужно указать, какие это участки. Впрочем, двойка неверна, должно быть $\rho_1<\rho_2$.

(Оффтоп)

У меня получилось $\rho_1<\dfrac{2}{3}\rho_2$, а в центре особенность вида дельта-функции.

Все правильно. Собственно, вопрос то был - найти участки, где это верно. А что там в центре - не суть.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1261085 писал(а):

А что там в центре - не суть.

(Оффтоп)

В центре там треть массы в нулевом объеме. Ничего себе "не суть"!

-- 01.11.2017, 13:51 --

Более реалистичной мне представляется двухплотностная модель: ядро с высокой плотностью и оболочка с более низкой. Найти, например, максимальное $g$.

[fred1996]

DimaM в сообщении #1261086 писал(а):

fred1996 в сообщении #1261085 писал(а):

А что там в центре - не суть.

(Оффтоп)

В центре там треть массы в нулевом объеме. Ничего себе "не суть"!

-- 01.11.2017, 13:51 --

Более реалистичной мне представляется двухплотностная модель: ядро с высокой плотностью и оболочка с более низкой. Найти, например, максимальное $g$.

Ну так правильно. Вы сначала и задаете плотное ядро, а потом наращиваете сверху менее плотной оболочкой. Там где $\rho_1<\frac23\rho_2$, там и выполняется условие. Я же не ставлю условие, чтобы сила притяжения везде увеличивалась при приближении к центру. Посмотрите условие задачи.