Квантовая яма Пешля-Теллера

[reterty]

Как известно, квантовая яма с прямоугольными стенками является чрезмерной симплификацией реального пространственного поведения потенциальной энергии электрона в кристалле конечных размеров. Свойство жесткого конфайнмента этой модели проистекает из того, что на границах ямы на микрочастицу действует "внезапная" бесконечно большая "возвращающая в яму" сила. В 30-года Пешль и Теллер предложили модель квантовой ямы всюду гладкой (тангециальная яма). Потенциальная энергия вблизи центра ямы квадратично зависит от смещения (квантовый гармонический осциллятор), далее, на границе ямы имеет точку перегиба и при больших расстояниях стремится к постоянному значению (глубина ямы). "Изюминка" этой модели в том что эта задача имеет строгое аналитическое решение как для энергетического спектра так и для волновых функций. Однако, (для меня лично) остается открытой проблема физического обоснования правомочности данной модели. Ниже я пытаюсь дать свое истолкование, но оно явно имеет "слабые места".
Пусть электрон с некоторой эффективной массой движется из "глубины кристалла" в направлении стенки (например, его поверхности). Тогда "глубь" кристалла начинает заряжаться положительно и возникает возвращающая сила, действующая на электрон. После прохождения границы ямы начинает работать эффект уменьшения силы взаимодействия, вследствие увеличения расстояния между заряженными обьектами; поэтому сила начинает убывать по модулю.
Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум? Может быть кто-то сможет лучше описать физику такого поведения....

[Cos(x-pi/2)]

reterty в сообщении #1260922 писал(а):

Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум?

Сила $F_x(x)$ определяется производной "потенциала" $U(x),$ а именно, в одномерной задаче:

$F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.$

Наглядно говоря: там где график потенциала идёт "круче", там и сила больше. Да, "на стенках" ямы $U(x)$ наклон графика самый большой; значит, и сила $|F_x|$ там максимальна. Ничего дискуссионного в этом, вроде, нет.

[reterty]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1260936 писал(а):

reterty в сообщении #1260922 писал(а):

Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум?

Сила $F_x(x)$ определяется производной "потенциала" $U(x),$ а именно, в одномерной задаче:

$F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.$

Наглядно говоря: там где график потенциала идёт "круче", там и сила больше. Да, "на стенках" ямы $U(x)$ наклон графика самый большой; значит, и сила $|F_x|$ там максимальна. Ничего дискуссионного в этом, вроде, нет.

То что сила есть минус градиент потенциальной энергии я знал еще в школе. Вопрос в физическом обьяснении такого поведения силы для кристалла конечных размеров. Насколько корректно мое обьяснение этой зависимости?

[Cos(x-pi/2)]

Если под объяснением подразумеваются cлова

reterty в сообщении #1260922 писал(а):

Пусть электрон с некоторой эффективной массой движется из "глубины кристалла" в направлении стенки (например, его поверхности). Тогда "глубь" кристалла начинает заряжаться положительно и возникает возвращающая сила, действующая на электрон

то краткий ответ: это некорректное объяснение.

Потому что корректно поведение электронов в кристалле описывает ФТТ ("физика твёрдого тела"), и картина там намного более сложная и разнообразная, чем умещается в пару предложений.

Например, наряду с подвижными электронами в кристалле бывают подвижные дырки (положительно заряженные квазичастицы). Электрон с дыркой могут перейти в подвижное связанное состояние - экситон; при движении электрона в составе экситона "глубь" кристалла вовсе не "начинает заряжаться положительно".

Если электроны в зону проводимости попали с донорных примесных атомов, то атомы эти - локализованные положительно заряженные ионы. Обычно они более-менее равномерно распределены по объёму кристалла и их суммарный заряд не зависит от того, в какую сторону движется тот или иной электрон в зоне проводимости, т.е. опять-таки "глубь" кристалла вовсе не "начинает заряжаться положительно".

Кроме того, есть такое понятие как "длина экранирования". Ну, и много ещё разных нюансов. Например, если речь вести об электроне в полностью заполненной валетной зоне, то о нём вообще лучше не говорить как о "движущемся".

Само представление об энергетических зонах для электрона в кристалле обусловлено пространственной периодичностью (трансляционной симметрией) "потенциала кристаллической решётки" $U_{\text{реш}}.$ Никакая одиночная яма (кроме как с протяжённым плоским дном) не годится на роль этого потенциала.

Если же речь идёт уже о картине в приближении эффективной массы, так что под потенциалом $U$ Вы подразумеваете "рельеф дна зоны проводимости", то обычно дно зоны проводимости - плоское. Т.е. это вовсе не потенциал гармонического осциллятора, модель прямоугольной потенциальной ямы подходит лучше: размер толщи кристалла обычно макроскопический, а область "стенок" имеет микроскопический масштаб - порядка нескольких размеров атомов. Говоря точнее, картина вблизи границ кристалла зависит от многих конкретных деталей: с чем и как граничит кристалл, и что это за кристалл (металл, диэлектрик, полупроводник). Могут оказаться существенными поверхностные состояния. В полупроводнике у поверхности может обнаружиться изгиб зон (заметный или не очень - зависит от длины экранирования и от того, какой материал находится по другую сторону границы).

Для электрона, вылетевшего из кристалла (например, за счёт туннельного эффекта во внешнем электрическом поле), можно ввести представление о "силах изображения": они влияют на форму туннельного потенциального барьера и тем самым бывают существенными в расчёте прозрачности барьера. Если Вы подразумеваете "относительно объяснения" чего-то там на границе именно что-то такое, то рациональное зерно в этом можно отыскать, но сначала надо конкретно сформулировать задачу.

[reterty]

1) Как грубо оценить ( по порядку величины) степень размытия ступеньки ("несколько периодов решетки" в данном направлении?). Ее можно далее ввести в соответствующий полуэмпирический параметр модели ПТ;
2) Как "на пальцах" качественно обьяснить, что именно на границе ямы возвращающая сила должна иметь максимум?

[Cos(x-pi/2)]

Поясните, пожалуйста, вопрос 2). Если слова "граница ямы" означают место, где максимальна $|dU/dx|,$ то это автоматически есть место, где максимальна сила, по определению $U$ и $F;$ объяснять нечего.

Может быть, Вы спрашиваете, почему граница ямы находится на границе кристалла?

Ответ на классическом языке можно получить рассматривая работу $dA,$ которую мы должны затратить для адиабатического (т.е. очень медленного, чтобы не учитывать изменение кин. энергии) перемещения электрона на расстояние $dx.$ Эта работа связана с изменением потенциальной энергии: $dA=-F_xdx=dU.$

В толще кристалла электрон ведёт себя как свободная частица (с эффективной массой). Чтобы адиабатически переместить его с места на место, нам не придётся совершать работу. Другими словами: электрон связан с атомами решётки (находится в состоянии "химической связи"), но свободно перемещается от атома к атому, из одной ячейки решётки в другую. Поэтому его можно подвести к границе кристалла без затраты на это дело энергии.

Но чтобы вытащить электрон, уже находящийся в "электронном облаке" поверхностных атомов, наружу из кристалла на расстояние, заметно превышающее размер электронного облака атома, мы должны "разорвать химическую связь" электрона с поверхностными атомами - затратить на этот процесс так называемую "работу выхода". Значит, в этом процессе потенциальная энергия электрона увеличивается на величину "работы выхода". Это и означает, что функция $U(x)$ резко возрастает при изменении $x$ вблизи границы кристалла на длину порядка размеров атомов в направлении из кристалла наружу.

Слова "химическая связь" здесь имеют квантовомеханический смысл: взаимодействие электрона с атомами имеет электростатическую природу, но энергия связи вычисляется по квантовой механике, и состояния электрона описываются не траекториями, а волновыми функциями.

[reterty]

Вот это уже обьяснение. Спасибо Cos(x-pi/2)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[reterty]

Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний. Будет ли она давать для силы функцию зеркального изображения $1/4x^2$? Если нет, то, может быть, найдется гладкий потенциал, удовлетворяющий такому дополнительному условию?

[amon]

reterty в сообщении #1261699 писал(а):

Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний.

А чего там получать-то? Экспонента, она и в Африке экспонента. Вы меня простите, но складывается впечатление, что Вы какой-то ерундой страдаете. Потенциал Пешля-Теллера был придуман для двухатомной молекулы как эффективный потенциал притяжения между двумя атомами, и для расчета твердых тел отродясь не использовался. Потенциал изображения - вещь существенно многочастичная, и в $1/4z$ вырождается только в статике (когда заряды неподвижны). Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька. В общем, непонятно, чего Вы добиваетесь.

[reterty]

amon в сообщении #1261713 писал(а):

reterty в сообщении #1261699 писал(а):

Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний.

А чего там получать-то? Экспонента, она и в Африке экспонента. Вы меня простите, но складывается впечатление, что Вы какой-то ерундой страдаете. Потенциал Пешля-Теллера был придуман для двухатомной молекулы как эффективный потенциал притяжения между двумя атомами, и для расчета твердых тел отродясь не использовался. Потенциал изображения - вещь существенно многочастичная, и в $1/4z$ вырождается только в статике (когда заряды неподвижны). Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька. В общем, непонятно, чего Вы добиваетесь.

Дорогой amon! Квантовомеханическая задача о движении электрона в ТТ также изначально многочастичная задача. Но ипользуя ряд разумных приближений ее можно свести к задаче о движении частицы с некоторой перенормированной (эффективной) массой во внешнем поле (метод огибающих функций). В такой постановке можно рассматривать и одночастичную задачу одвижении в поле с кулоновским изображением. Правда тогда эта масса будет и функцией от $z$.

-- Пт ноя 03, 2017 06:36:33 --

Ну, надоело мне работать с прямоугольными ямами, пусть даже и конечной глубины...... а для "гладкой" ямы аналитическое решение известно лишь для П-Т. Я же не говорю о потенциале Юкавы или об асимметричной яме Леннарда-Джонса.....

-- Пт ноя 03, 2017 06:40:44 --

reterty в сообщении #1261734 писал(а):

amon в сообщении #1261713 писал(а):

reterty в сообщении #1261699 писал(а):

Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька...

"Размытая ступенька"-fuzzy model. Природа всегда "сглаживает" сингулярности