2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение31.10.2017, 19:38 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Как известно, квантовая яма с прямоугольными стенками является чрезмерной симплификацией реального пространственного поведения потенциальной энергии электрона в кристалле конечных размеров. Свойство жесткого конфайнмента этой модели проистекает из того, что на границах ямы на микрочастицу действует "внезапная" бесконечно большая "возвращающая в яму" сила. В 30-года Пешль и Теллер предложили модель квантовой ямы всюду гладкой (тангециальная яма). Потенциальная энергия вблизи центра ямы квадратично зависит от смещения (квантовый гармонический осциллятор), далее, на границе ямы имеет точку перегиба и при больших расстояниях стремится к постоянному значению (глубина ямы). "Изюминка" этой модели в том что эта задача имеет строгое аналитическое решение как для энергетического спектра так и для волновых функций. Однако, (для меня лично) остается открытой проблема физического обоснования правомочности данной модели. Ниже я пытаюсь дать свое истолкование, но оно явно имеет "слабые места".
Пусть электрон с некоторой эффективной массой движется из "глубины кристалла" в направлении стенки (например, его поверхности). Тогда "глубь" кристалла начинает заряжаться положительно и возникает возвращающая сила, действующая на электрон. После прохождения границы ямы начинает работать эффект уменьшения силы взаимодействия, вследствие увеличения расстояния между заряженными обьектами; поэтому сила начинает убывать по модулю.
Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум? Может быть кто-то сможет лучше описать физику такого поведения....

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение31.10.2017, 21:09 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
reterty в сообщении #1260922 писал(а):
Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум?

Сила $F_x(x)$ определяется производной "потенциала" $U(x),$ а именно, в одномерной задаче:

$F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.$

Наглядно говоря: там где график потенциала идёт "круче", там и сила больше. Да, "на стенках" ямы $U(x)$ наклон графика самый большой; значит, и сила $|F_x|$ там максимальна. Ничего дискуссионного в этом, вроде, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение31.10.2017, 21:21 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Cos(x-pi/2) в сообщении #1260936 писал(а):
reterty в сообщении #1260922 писал(а):
Прав ли я относительно обяьяснения того , что на границе ямы эта сила имеет максимум?

Сила $F_x(x)$ определяется производной "потенциала" $U(x),$ а именно, в одномерной задаче:

$F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.$

Наглядно говоря: там где график потенциала идёт "круче", там и сила больше. Да, "на стенках" ямы $U(x)$ наклон графика самый большой; значит, и сила $|F_x|$ там максимальна. Ничего дискуссионного в этом, вроде, нет.

То что сила есть минус градиент потенциальной энергии я знал еще в школе. Вопрос в физическом обьяснении такого поведения силы для кристалла конечных размеров. Насколько корректно мое обьяснение этой зависимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение31.10.2017, 23:02 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
Если под объяснением подразумеваются cлова
reterty в сообщении #1260922 писал(а):
Пусть электрон с некоторой эффективной массой движется из "глубины кристалла" в направлении стенки (например, его поверхности). Тогда "глубь" кристалла начинает заряжаться положительно и возникает возвращающая сила, действующая на электрон

то краткий ответ: это некорректное объяснение.

Потому что корректно поведение электронов в кристалле описывает ФТТ ("физика твёрдого тела"), и картина там намного более сложная и разнообразная, чем умещается в пару предложений.

Например, наряду с подвижными электронами в кристалле бывают подвижные дырки (положительно заряженные квазичастицы). Электрон с дыркой могут перейти в подвижное связанное состояние - экситон; при движении электрона в составе экситона "глубь" кристалла вовсе не "начинает заряжаться положительно".

Если электроны в зону проводимости попали с донорных примесных атомов, то атомы эти - локализованные положительно заряженные ионы. Обычно они более-менее равномерно распределены по объёму кристалла и их суммарный заряд не зависит от того, в какую сторону движется тот или иной электрон в зоне проводимости, т.е. опять-таки "глубь" кристалла вовсе не "начинает заряжаться положительно".

Кроме того, есть такое понятие как "длина экранирования". Ну, и много ещё разных нюансов. Например, если речь вести об электроне в полностью заполненной валетной зоне, то о нём вообще лучше не говорить как о "движущемся".

Само представление об энергетических зонах для электрона в кристалле обусловлено пространственной периодичностью (трансляционной симметрией) "потенциала кристаллической решётки" $U_{\text{реш}}.$ Никакая одиночная яма (кроме как с протяжённым плоским дном) не годится на роль этого потенциала.

Если же речь идёт уже о картине в приближении эффективной массы, так что под потенциалом $U$ Вы подразумеваете "рельеф дна зоны проводимости", то обычно дно зоны проводимости - плоское. Т.е. это вовсе не потенциал гармонического осциллятора, модель прямоугольной потенциальной ямы подходит лучше: размер толщи кристалла обычно макроскопический, а область "стенок" имеет микроскопический масштаб - порядка нескольких размеров атомов. Говоря точнее, картина вблизи границ кристалла зависит от многих конкретных деталей: с чем и как граничит кристалл, и что это за кристалл (металл, диэлектрик, полупроводник). Могут оказаться существенными поверхностные состояния. В полупроводнике у поверхности может обнаружиться изгиб зон (заметный или не очень - зависит от длины экранирования и от того, какой материал находится по другую сторону границы).

Для электрона, вылетевшего из кристалла (например, за счёт туннельного эффекта во внешнем электрическом поле), можно ввести представление о "силах изображения": они влияют на форму туннельного потенциального барьера и тем самым бывают существенными в расчёте прозрачности барьера. Если Вы подразумеваете "относительно объяснения" чего-то там на границе именно что-то такое, то рациональное зерно в этом можно отыскать, но сначала надо конкретно сформулировать задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение31.10.2017, 23:22 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
1) Как грубо оценить ( по порядку величины) степень размытия ступеньки ("несколько периодов решетки" в данном направлении?). Ее можно далее ввести в соответствующий полуэмпирический параметр модели ПТ;
2) Как "на пальцах" качественно обьяснить, что именно на границе ямы возвращающая сила должна иметь максимум?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение01.11.2017, 00:26 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
Поясните, пожалуйста, вопрос 2). Если слова "граница ямы" означают место, где максимальна $|dU/dx|,$ то это автоматически есть место, где максимальна сила, по определению $U$ и $F;$ объяснять нечего.

Может быть, Вы спрашиваете, почему граница ямы находится на границе кристалла?

Ответ на классическом языке можно получить рассматривая работу $dA,$ которую мы должны затратить для адиабатического (т.е. очень медленного, чтобы не учитывать изменение кин. энергии) перемещения электрона на расстояние $dx.$ Эта работа связана с изменением потенциальной энергии: $dA=-F_xdx=dU.$

В толще кристалла электрон ведёт себя как свободная частица (с эффективной массой). Чтобы адиабатически переместить его с места на место, нам не придётся совершать работу. Другими словами: электрон связан с атомами решётки (находится в состоянии "химической связи"), но свободно перемещается от атома к атому, из одной ячейки решётки в другую. Поэтому его можно подвести к границе кристалла без затраты на это дело энергии.

Но чтобы вытащить электрон, уже находящийся в "электронном облаке" поверхностных атомов, наружу из кристалла на расстояние, заметно превышающее размер электронного облака атома, мы должны "разорвать химическую связь" электрона с поверхностными атомами - затратить на этот процесс так называемую "работу выхода". Значит, в этом процессе потенциальная энергия электрона увеличивается на величину "работы выхода". Это и означает, что функция $U(x)$ резко возрастает при изменении $x$ вблизи границы кристалла на длину порядка размеров атомов в направлении из кристалла наружу.

Слова "химическая связь" здесь имеют квантовомеханический смысл: взаимодействие электрона с атомами имеет электростатическую природу, но энергия связи вычисляется по квантовой механике, и состояния электрона описываются не траекториями, а волновыми функциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение01.11.2017, 03:58 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Вот это уже обьяснение. Спасибо Cos(x-pi/2)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.11.2017, 09:57 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение02.11.2017, 23:14 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний. Будет ли она давать для силы функцию зеркального изображения $1/4x^2$? Если нет, то, может быть, найдется гладкий потенциал, удовлетворяющий такому дополнительному условию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение03.11.2017, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
reterty в сообщении #1261699 писал(а):
Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний.
А чего там получать-то? Экспонента, она и в Африке экспонента. Вы меня простите, но складывается впечатление, что Вы какой-то ерундой страдаете. Потенциал Пешля-Теллера был придуман для двухатомной молекулы как эффективный потенциал притяжения между двумя атомами, и для расчета твердых тел отродясь не использовался. Потенциал изображения - вещь существенно многочастичная, и в $1/4z$ вырождается только в статике (когда заряды неподвижны). Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька. В общем, непонятно, чего Вы добиваетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая яма Пешля-Теллера
Сообщение03.11.2017, 05:28 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
amon в сообщении #1261713 писал(а):
reterty в сообщении #1261699 писал(а):
Интересно получить асимптотику для потенциального профиля П-Т в случае больших расстояний.
А чего там получать-то? Экспонента, она и в Африке экспонента. Вы меня простите, но складывается впечатление, что Вы какой-то ерундой страдаете. Потенциал Пешля-Теллера был придуман для двухатомной молекулы как эффективный потенциал притяжения между двумя атомами, и для расчета твердых тел отродясь не использовался. Потенциал изображения - вещь существенно многочастичная, и в $1/4z$ вырождается только в статике (когда заряды неподвижны). Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька. В общем, непонятно, чего Вы добиваетесь.

Дорогой amon! Квантовомеханическая задача о движении электрона в ТТ также изначально многочастичная задача. Но ипользуя ряд разумных приближений ее можно свести к задаче о движении частицы с некоторой перенормированной (эффективной) массой во внешнем поле (метод огибающих функций). В такой постановке можно рассматривать и одночастичную задачу одвижении в поле с кулоновским изображением. Правда тогда эта масса будет и функцией от $z$.

-- Пт ноя 03, 2017 06:36:33 --

Ну, надоело мне работать с прямоугольными ямами, пусть даже и конечной глубины...... а для "гладкой" ямы аналитическое решение известно лишь для П-Т. Я же не говорю о потенциале Юкавы или об асимметричной яме Леннарда-Джонса.....

-- Пт ноя 03, 2017 06:40:44 --

reterty в сообщении #1261734 писал(а):
amon в сообщении #1261713 писал(а):
reterty в сообщении #1261699 писал(а):
Если Вы пытаетесь с помощью него смоделировать приповерхностный потенциал, то там не яма, а ступенька...

"Размытая ступенька"-fuzzy model. Природа всегда "сглаживает" сингулярности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group