Разложение в ряд Тейлора, нахождение интервала сходимости

[hiraev]

Задача: Разложить функцию $f(x)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$. Найти интервал сходимости разложения. Использовать первые 4 члена ряда Тейлора.

$f(x)=(125+x)^{\frac{1}{3}}$, $x_0=0$

$c_0 = f(x_0) = 5$

$c_1 = \frac{f'(x_0)}{1!} = \frac{1}{(2!\cdot3\cdot 125^{\frac{2}{3}})}$

$c_2 = \frac{f''(x_0)}{2!} = - \frac{2}{(2!\cdot3^2\cdot125^{\frac{5}{3}})}$

$c_3 = \frac{f'''(x_0)}{3!} = \frac{10}{(3!\cdot3^3\cdot125^{\frac{8}{3}})}$

Далее в попытках составить из этого ряд, у меня возникают проблемы.
А именно, я не понимаю как мне выражать числитель в следующем рекуррентном соотношении:
База: $c_0 = 5 = \frac{1}{0!\cdot3^0\cdot125^{-\frac{1}{3}}}$

$c_{n+1} = \frac{c_n ???}{(n+1)\cdot3\cdot125}$

[Otta]

hiraev
Так никто не делает. Не раскладывают в ряд Тейлора, считая производные. А используют стандартные разложения. Синус, косинус,... какое Вы знаете наиболее похожее на эту функцию?

[hiraev]

Знаю
$(1+x)^{\alpha}$
Но как ее использовать?

[arseniiv]

Вынесите что-нибудь за скобку.

[Someone]

Чтобы вместо $125$ получилось…

[hiraev]

$(125(1+\frac{x}{125}))^{\frac{1}{3}}$
Далее везде в разложении будем писать $\frac{x}{125}$ вместо стандартного $x$. Верно?

[Dan B-Yallay]

Верно

-- Пн окт 30, 2017 13:25:22 --

Чтобы немного упростить запись, можно сразу посчитать $125^{1/3}=...?$

[hiraev]

В итоге:
$(125(1+\frac{x}{125}))^{\frac{1}{3}} = 5 + 5\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)...(\frac{1}{3}-n+1)}{n!}(\frac{x}{125})^n$

Все верно?

[Dan B-Yallay]

hiraev в сообщении #1260621 писал(а):

$(125(1+\frac{x}{125}))^{\frac{1}{3}} = 5 + 5\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)...(\frac{1}{3}-n+1)}{n!}\frac{x^n}{125}$

Неа.

hiraev в сообщении #1260613 писал(а):

Далее везде в разложении будем писать $\frac{x}{125}$ вместо стандартного $x$. Верно?

[arseniiv]

Кроме того, можно ведь суммирование и с нуля начать, и убрать этот хвост $5+{}$.

[hiraev]

А вот это не очень понял

Dan B-Yallay в сообщении #1260622 писал(а):

Неа.

hiraev в сообщении #1260613 писал(а):

Далее везде в разложении будем писать $\frac{x}{125}$ вместо стандартного $x$. Верно?

[Dan B-Yallay]

Кстати, я не понял: ТС вроде просил ряд Тейлора, а я ему подсовываю Маклорена.
И даже не знаю, как это получилось и нужен ли ТСу Маклорен.

[hiraev]

У меня в задании $x_0 = 0$ поэтому получается ряд Маклорена

[Otta]

hiraev в сообщении #1260621 писал(а):

Все верно?

Оно-то да, только принято записывать так, чтобы трехэтажных дробей не было и был явно виден коэфф-т при $x^n$. Так что еще немного поупрощать бы.

Dan B-Yallay в сообщении #1260626 писал(а):

Кстати, я не понял: ТС вроде просил ряд Тейлора, а я ему подсовываю Маклорена.

А разница здесь?

[Dan B-Yallay]

hiraev в сообщении #1260627 писал(а):

У меня в задании $x_0 = 0$ поэтому получается ряд Маклорена

Точно! Проглядел, так как подключился позже.

Dan B-Yallay в сообщении #1260626 писал(а):

А вот это не очень понял

А что там непонятного? В выписанной Bами же формуле $(125(1+\frac{x}{125}))^{\frac{1}{3}}$ обозначьте $y =x/125$, затем выпишите ряд с буквой $y$ как переменной, а после замените её обратно на $x/125$

-- Пн окт 30, 2017 13:54:55 --

Otta в сообщении #1260629 писал(а):

А разница здесь?

Именно! Влез посередине и сам запутался.