2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение15.03.2021, 04:00 
Заслуженный участник


20/08/14
9875
Россия, Москва
До $M<10^8$ досчиталось, всё интересное выкладывал выше, вот ссылка на архив со всеми результатами: https://cloud.mail.ru/public/yUpJ/nKmsUG91h

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение15.03.2021, 07:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1529
Санкт-Петербург
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение16.03.2021, 09:12 
Заслуженный участник


20/08/14
9875
Россия, Москва
Andrey A
Нашлось продолжение длиной 12 (до кучи и все новые вхождения длин от 10 и выше):
Используется синтаксис Text
M=176919203: n=11: F(18787,56382) F(18258,55076) F(18022,54427) F(17191,52069) F(16643,50486) F(16488,50036) F(12138,37236) F(9587,29661) F(8231,25624) F(3637,11909) F(2518,8561)
M=360931278: n=10: F(26863,80591) F(26653,80136) F(26062,78586) F(24128,73066) F(23332,70747) F(22988,69741) F(19678,59994) F(18052,55179) F(8297,26127) F(3828,12761)
M=427210953: n=12: F(28898,86939) F(28562,86057) F(28218,85111) F(27663,83546) F(26763,80961) F(25103,76126) F(23413,71161) F(22672,68976) F(22336,67984) F(14466,44619) (7361,23409) F(7258,23101)
Полные результаты для $M<10^9$ длиной от 5 и выше будут дня через два (за сутки просчиталось 41% интервала, плюс небольшое замедление с ростом чисел, около $10^8$ общее время оценивалось в 45ч, сейчас уже в 58ч).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение16.03.2021, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1529
Санкт-Петербург
O.K. Дождемся победного финала, и выпишу всю последовательность еще раз. Мало ли кто захочет закинуть в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение18.03.2021, 17:51 
Заслуженный участник


20/08/14
9875
Россия, Москва
Andrey A
Досчиталось до $10^9$, заняло почти 80ч. Файл по ссылке выше обновил. Длины 13 не найдено. Вообще интервал $10^{7..8}$ был самый урожайный.
На этом и остановимся.

PS. Не вижу особого смысла иметь в последовательности нулевой член, логичнее начинать с $n=1, M=8$. ИМХО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение19.03.2021, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1529
Санкт-Петербург
Dmitriy40
Всё-таки оставлю: единица в начале всегда хорошо, если это осмыслено. А тут количество различных отображений суммой более чем $3$-х элементов треугольника Паскаля:
$8=\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}$ (одно).
$34=\binom{15}{0}+\binom{11}{1}+\binom{7}{2}+\binom{3}{3}=\binom{8}{0}+\binom{7}{1}+\binom{6}{2}+\binom{5}{3}+\binom{4}{4}$ (два).
И далее по нарастающей. Единица же — наименьшее из не имеющих ни одного отображения. Само напрашивается. Итак:
$$1,8,34,281,2490,17051,243676,826253,5298424,41037270,52658451,64926751,427210953,...\ (n=0,1,2,...)$$ Раскрою последний член.
$427210953=$
$=\binom{86938}{0}+\binom{58041}{1}+\binom{29144}{2}+\binom{247}{3}$
$=\binom{86056}{0}+\binom{57495}{1}+\binom{28934}{2}+\binom{373}{3}$
$=\binom{85110}{0}+\binom{56893}{1}+\binom{28676}{2}+\binom{459}{3}$
$=\binom{83545}{0}+\binom{55883}{1}+\binom{28221}{2}+\binom{559}{3}$
$=\binom{80960}{0}+\binom{54198}{1}+\binom{27436}{2}+\binom{674}{3}$
$=\binom{76125}{0}+\binom{51023}{1}+\binom{25921}{2}+\binom{819}{3}$
$=\binom{71160}{0}+\binom{47748}{1}+\binom{24336}{2}+\binom{924}{3}$
$=\binom{68975}{0}+\binom{46304}{1}+\binom{23633}{2}+\binom{962}{3}$
$=\binom{67983}{0}+\binom{45648}{1}+\binom{23313}{2}+\binom{978}{3}$
$=\binom{44618}{0}+\binom{30153}{1}+\binom{15688}{2}+\binom{1223}{3}$
$=\binom{23408}{0}+\binom{16048}{1}+\binom{8688}{2}+\binom{1328}{3}$
$=\binom{23100}{0}+\binom{15843}{1}+\binom{8586}{2}+\binom{1329}{3}$

Скачал. Еще раз спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение06.02.2022, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1529
Санкт-Петербург
Кое-что еще. Каждой несократимой дроби $\dfrac{n}{k}>1$ можно поставить в соответствие бесконечно возрастающую последовательность $k$-боначчи вида $F^k_n,F^{2k}_{2n},F^{3k}_{3n},...,F^{uk}_{un},...$
Интересно, что $u$-й член такой последовательности описывается явно многочленом степени $ \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil-1$ с целыми положительными коэффициентами, поделенным на соответствующий факториал. Последовательность $F_5^1=16,F_{10}^{2}=55,F_{15}^{3}=129,...$, к примеру, описывается формулой $F^{u}_{5u}=\dfrac{u^4+38u^3+167u^2+154u+24}{4!}.$ Сильная закономерность, но совсем не понимаю что с этим делать дальше.




Метод разложения корней уравнений, описанный ранее, есть в сущности метод касательных, но для цепных дробей. См. пост https://dxdy.ru/post1503115.html#p1503115 Upd 8.11.2021.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение06.02.2022, 19:04 
Заблокирован


16/04/18

1129
Алгебраическое уравнение из первого поста, или даже чуть более общее, встречается в теории разностных уравнений, итерационных методах. Например, Трауб, Итерационные методы..., с. 42. Трёхчленное. Наверное, корни выражаются через гипергеометрию, было бы интересно это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фибоначчи k-го ур-я + алгебраическое число в цепную дробь
Сообщение06.02.2022, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1529
Санкт-Петербург
novichok2018 в сообщении #1548152 писал(а):
... было бы интересно это сделать.
Так попробуйте! Мне кажется, коллективные исследования (при наличии должного такта) — именно то, чего недостает нашим научным форумам в противовес сухой критике. Из гипергеометрии я вряд ли что ценного добавлю, но с удовольствием поаплодирую ) Задача минимум – восстановить коэффициенты многочлена из заданной пропорции $\dfrac{n}{k}>1$ (Upd 06.05.2022).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group