Решить систему линейных уравнений с параметром

[Roman7795]

Задание: Решите систему уравнений в зависимости от параметра a.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+ay+3z+u=-2 \\ x+2y+3z=0 \\ 2x+2ay+6z+3u=-4 \\ x+2y+(a-4)z+2u=a-7 \\ \end{array} \right.$$

1) Записываю все коэффициенты переменных в расширенную матрицу

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 1&2&3&0&0\\ 2&2a&6&3&-4\\ 1&2&a-4&2&a-7\\ \end{bmatrix}$$

2) Домножаю 1ю строку на (-2) и прибавляю к 3й
Получаю:

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 1&2&3&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 1&2&a-4&2&a-7\\ \end{bmatrix}$$

3)Домножаю 2ю строку на (-1) и прибавляю к 4й
Получаю:

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 1&2&3&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&a-7&2&a-7\\ \end{bmatrix}$$

4)Делю последнюю строку на (a-7)
Получаю:

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 1&2&3&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&\frac{2}{a-7}&1\\ \end{bmatrix}$$

5)Домножаю 1ю строку на (-1) и прибавляю ко 2й.
Получаю:

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 0&2-a&0&-1&2\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&1&\frac{2}{a-7}&1\\ \end{bmatrix}$$

6) Меняю строки местами
Получаю:

$$\begin{bmatrix} 1&a&3&1&-2\\ 0&2-a&0&-1&2\\ 0&0&1&\frac{2}{a-7}&1\\ 0&0&0&1&0\\ \end{bmatrix}$$

7) Подставляю коэффициенты в систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+ay+3z+u=-2 \\ (2-a)y-u=2\\ z+\frac{2}{a-7}u=1\\ u=0\\ \end{array} \right.$$

8) Решаю систему
u=0
z=1
y=$\frac{2}{2-a}$
x=$\frac{10-3a}{2-a}$

ВОПРОС СОБСТВЕННО ПРОСТОЙ
РЕШИТЬ СИСТЕМУ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА а
ЧТО МНЕ НУЖНО СДЕЛАТЬ ПОДСКАЖИТЕ?

[mihaild]

Обычно где-то в окрестности таких задач есть подобные примеры, либо хотя бы нужные определения:)

Скорее всего, вам нужно указать, при каких значениях $a$ система разрешима, и найти ее решение в зависимости от $a$. Второе вы уже почти сделали (для тех значений $a$, при которых все проделанные преобразования допустимы).

[teleglaz]

Вопрос: всегда ли возможно сделать все действия вашего решения?

[provincialka]

Не всегда надо действовать по шаблону. После шага 2 у вас плучилась "почти нулевая" строка, с ее помощью можно обнулить остальные элементы четвертого столбца. И тогда последнее равенство примет особенно простой вид.

[teleglaz]

На самом деле в данном случае проще составить матрицу системы и найти условие когда она будет обратима. Тогда будет одно решение. Ну и рассмотреть остальные случаи. Их должно быть всего два.

И, да, кстати в восьмом пункте всё-таки есть ошибка.

[Roman7795]

Пересчитал все с нуля, опираясь на ваши советы.
x=-5
y=$\frac{2}{2-a}$
z=1
u=0

Потом я просто закинул все значения (x,y,z,u) в начальную систему и вычислил параметр $\mathbf{a}$
Получилось $\mathbf{a}=0$

Все еще видите ошибку?

[teleglaz]

Если это результат решения "с нуля", то конечно вижу ошибку. Предыдущий ответ был ближе к правильному, а это вообще не понятно откуда взялось. Я же объяснил, что в данной задаче можно сделать, чтобы "за дёшево" получить ответ.

Ответьте на вопросы: Когда матрица обратима? Сколько решений имеет система, если матрица системы обратима? А сколько когда необратима? Вот и двигайтесь от этого. Если записать условие обратимости, то получится уравнение известного вида. И нужно будет рассмотреть всего два случая. Вот и всё.

Ну, хорошо, и ещё случай, который вы сейчас пытаетесь рассматривать для произвольного $a$.

Есть, конечно, и другие способы, но тогда нужно анализировать элементарные преобразования и возможность их применения.

[Roman7795]

Обратима, если определитель не равен 0
Если определитель не равен нулю, то система имеет 1 решение.
Если система необратима то определитель равен 0, то нет решений или бесконечное множество решений?
Что-то пока не улавливаю, что мне нужно сделать.

[teleglaz]

Roman7795 в сообщении #1252016 писал(а):

если определитель не равен 0

Только не "если", а "тогда и только тогда".

Roman7795 в сообщении #1252016 писал(а):

Если определитель не равен нулю, то система имеет 1 решение.

Туда же.

Roman7795 в сообщении #1252016 писал(а):

система необратима

Обращают не систему. Обращают матрицу.

Roman7795 в сообщении #1252016 писал(а):

Что-то пока не улавливаю, что мне нужно сделать.

Очевидно, что проверить условие наличия обратной матрицы у матрицы системы в зависимости от $a$. После этого, я думаю, будет понятно, при каких $a$ что будет. Конкретно в данной задаче будет не так много вариантов. Конечно, искать "в лоб" определитель 4-го порядка с параметром - дело неблагодарное. Но, я думаю, вы в курсе как меняется определитель при элементарных преобразованиях, которыми вы владеете, как я вижу.

P.S. Обратима/необратима - это жаргон, который я себе позволил. Правильно говорить "имеет обратную".

[Roman7795]

Я занялся неблагородным делом и получил определитель в таком виде: $\Delta=a^2+a+c$
Нам нужно, чтобы определитель не был равен нулю. Определитель в виде квадратного уравнения, решили, корни нашли.
Получили: $\mathbf{a}\ne7$ $\mathbf{a}\ne2$
Все еще не то?

[teleglaz]

Определитель только странный у вас, но корни почему-то верные. Ну вот и осталось посмотреть, что будет при $a$ равном двум, семи и всем остальным. Последнее вы уже делали в самом первом вашем посте, только с ошибкой в ответе.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.