Аксиома полноты

[student1138]

Подскажите, почему в аксиоме полноты множества действительных чисел говорится о именно двух непустых подмножествах. Можно ли было например вместо этого использовать просто два элемента из $\mathbb{R}$. Т.е. переформулировать в таком виде: для любых двух элементов $a, b \in \mathbb{R}$ таких что $a \leqslant b$, найдется такое $c$ такое что $ a \leqslant c\leqslant b$. Будет ли такая формулировка равноценна традиционной?

[mihaild]

Ваша переформулировка стандартно называется плотностью (порядка).
Упражнение: проверить на полноту и плотность порядки на $\mathbb{R}$ и $\mathbb{Q}$.

[student1138]

Прочитал что рациональные числа не непрерывны. Попробую это доказать.
Пусть множество $A$ - все рациональные числа меньше либо равные $\sqrt{2}$, пусть $B$ - рациональные числа больше либо равные $\sqrt{2}$. $A$ и $B$ удовлетворяют условиям аксиомы. Попробуем найти такое $c$ что $\forall a\in A, \forall b\in B: a \leqslant c \leqslant b$.
Предположим что $c > \sqrt{2}$. Тогда найдется $b_1 \in B: b_1 \leqslant c$. Не знаю как обосновать этот вывод. Интуитивно кажется что так. Аналогично доказываем что $c$ не может быть меньше корня из двух. Значит $c = \sqrt{2}$, но $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$ Т.е. $\mathbb{Q}$ не непрерывно.

Правильно доказал или нет? Если правильно то как можно обосновать подчеркнутое?

[mihaild]

Да, правильно.
Попробуйте найти какое-нибудь рациональное $x > 0$ такое что $c - x > \sqrt{2}$ - тогда можно будет взять $b_1 = c - x$.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Вообще-то полнота это свойство метрического пространства. Метрическое пространство совсем не обязано быть упорядоченным множеством. Метрика и порядок это совершенно независимые структуры , хотя они и могут быть между собой согласованы в том или ином смысле. В частности, множество действительных чисел можно определить как пополнение метрического пространства рациональных чисел с метрикой $d(x,y)=|x-y|$. ОТношение порядка при таком построении просто не используется. Потом, второй итерацией, полученное так множество действительных чисел можно наделить и стандартным порядком и стандартной алгебраической структурой (сложение умножение)

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1250950 писал(а):

В частности, множество действительных чисел можно определить как пополнение метрического пространства рациональных чисел с метрикой $d(x,y)=|x-y|$.

$\mathbb{R}$, безусловно, является пополнением метрического пространства $\mathbb{Q}$ с указанной метрикой.

Но вот - можно ли определить $\mathbb{R}$ как пополнение метрического пространства $\mathbb{Q}$ с этой метрикой?
Мне кажется, нет - потому что в определении метрического пространства уже используется $\mathbb{R}$ (метрика, по определению, есть вещественнозначная функция пары точек из пространства). Нельзя определить метрическое пространство $\mathbb{Q}$, пока не определено $\mathbb{R}$ - и поэтому нельзя определять $\mathbb{R}$ как пополнение $\mathbb{Q}$.

Можно было бы попробовать вначале определить $\mathbb{Q}$ не как обычное метрическое пространство, а как "метрическое пространство с рациональнозначной метрикой". Но тогда пришлось бы решать вопрос, что означает пополнение такого пространства. Потому что пополнения обычных метрических пространств (с вещественнозначными метриками) - это обязательно тоже метрические пространства с вещественнозначными метриками. При попытке определить $\mathbb{R}$ через пополнение $\mathbb{Q}$ будет не так: исходное пространство с рациональнозначной метрикой, а его пополнение - уже нет.

Я, конечно, не хочу сказать, что эти трудности существенны. Разумеется, можно определить $\mathbb{R}$ как множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Q}$, и всё в таком определении будет корректно.
Но вот не стоит говорить, что это определение $\mathbb{R}$ как пополнения метрического пространства $\mathbb{Q}$. Это очень похожая, но всё же другая операция.

[student1138]

Тогда задам такой очень странный вопрос. Представим что не существует ничего кроме множества $\mathbb{Q}$. Нет никакого $\mathbb{R}$, нет корня из двух, вообще во всей вселенной нет ничего кроме $\mathbb{Q}$. И стандартно сформулирована аксиома полноты. Вопрос будет ли в этой вселенной $\mathbb{Q}$ - полным (ну т.е. будет ли удовлетворять аксиоме)?

[mihaild]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1250950 писал(а):

Вообще-то полнота это свойство метрического пространства.

Есть два разных понятия - полнота по Коши (любая фундаментальная последовательность сходится) и полнота по Дедекинду (любое сечение задается некоторым элементом). Первая определяется через метрику, вторая через порядок.

[Mikhail_K]

student1138 в сообщении #1250956 писал(а):

Вопрос будет ли в этой вселенной $\mathbb{Q}$ - полным?

Не будет.
Вы в своём примере построили множества $A$ и $B$ так: $A=\{x\in\mathbb{Q}\,|\,x<\sqrt{2}\}$, $B=\{x\in\mathbb{Q}\,|\,x>\sqrt{2}\}$.
Теперь постарайтесь описать те же самые множества $A$ и $B$, не используя $\sqrt{2}$ и вообще иррациональные числа. Тогда это решит Ваш вопрос.

[mihaild]

student1138 в сообщении #1250956 писал(а):

Тогда задам такой очень странный вопрос.

Вопрос безусловно странный, потому что во Вселенной итак не существует множества $\mathbb{R}$ (а также $\mathbb{Q}$, и вообще, я ни разу на улице не видел ни одного множества).
Вопрос, видимо "можно ли без привлечения $\mathbb{R}$ показать неполноту $\mathbb{Q}$?".
Ответ - да, можно. Подумайте, как определить построенные вами $A$ и $B$, не используя $\sqrt{2}$ (надо будет подставить его определение и немного расписать).

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1250955 писал(а):

Но вот - можно ли определить $\mathbb{R}$ как пополнение метрического пространства $\mathbb{Q}$ с этой метрикой?
Мне кажется, нет - потому что в определении метрического пространства уже используется $\mathbb{R}$ (метрика, по определению, есть вещественнозначная функция пары точек из пространства).

Это справедливо Но процедура все равно проходит, ввести отношение эквивалентности на множестве последовательностей Коши из $\mathbb{Q}$ мы можем и профакторизовать по этому отношению мы можем

-- 26.09.2017, 19:26 --

(Оффтоп)

а что делать после этой факторизации тоже не очень понятно, короче мое высказывание было глупое

[student1138]

Цитата:

Вопрос, видимо "можно ли без привлечения $\mathbb{R}$ показать неполноту $\mathbb{Q}$?".

Да, именно это я имел ввиду. В общем доказательство я нашел на этом же форуме. Берем $A$ - все рац.числа, квадраты которых меньше 2. $B$ - соответственно больше. Далее по такой же логике как выше - пытаемся найти такое $c$, что $\forall a\in A, \forall b \in B: a \leqslant c \leqslant b$. Далее легко доказываем что $c^2$ не может быть больше двух и меньше двух. Значит $c$ - такое число, квадрат которого равен 2. Но оно, как известно, не принадлежит $\mathbb{Q}$

Хорошо, теперь мы видим что $\mathbb{Q}$ обладает свойством, указанным в первом сообщении этой темы (для любых двух чисел найдется число "между" ними). Но при этом $\mathbb{Q}$ не является полным. Тогда у меня у меня еще один странный вопрос. Почему, когда мы используем формулировку с двумя конкретными числами - мы не можем обнаружить элементов, не принадлежащих $\mathbb{Q}$ - оно нам кажется непрерывным. Но когда мы используем формулировку с двумя множествами - мы обнаруживаем что в $\mathbb{Q}$ чего-то не хватает, в нем есть "дырки". Это чудо какое-то, я не понимаю.

[mihaild]

Полнота и плотность находятся в общем положении: $\mathbb{Z}$ - полно, но не плотно, $\mathbb{Q}$ - плотно, но не полно, $\mathbb{R}$ - полно и плотно, $\mathbb{Q} \cap [0; 1] \cup \{2\}$ - не полно и не плотно.

(Оффтоп)

Не стоит использовать понятие "непрерывность", понимая под ним "плотность" [лично мне даже понятие "непрерывность множества" не нравится, но тут уж придется смириться].

[student1138]

А что такое полнота? Не в смысле выполнения аксиомы полноты. А по-существу, наглядно. Почему аксиома сформулирована так как она сформулирована?

[Mikhail_K]

student1138 в сообщении #1250968 писал(а):

Почему, когда мы используем формулировку с двумя конкретными числами - мы не можем обнаружить элементов, не принадлежащих $\mathbb{Q}$ - оно нам кажется непрерывным. Но когда мы используем формулировку с двумя множествами - мы обнаруживаем что в $\mathbb{Q}$ чего-то не хватает, в нем есть "дырки". Это чудо какое-то, я не понимаю.

Попытаюсь неформально объяснить.

Формулировка "с двумя числами" вообще не подходит для "поиска дырок", не предназначена для этого. Ну и что, что мы можем найти элемент между любыми двумя элементами - между этими же элементами может оказаться и "дырка", и ещё много что. Вот пример - множество $(-1,0)\cup(0,1)$. Здесь очевидная "дырка" в точке $0$. Однако, между любыми двумя элементами этого множества можно найти ещё один элемент - мы легко сможем его брать слева или справа от "дырки", его наличие ничего не значит.

(Совсем неформально про полноту и неполноту)

Формулировка "с двумя множествами" вот чем лучше в плане "поиска дырок". Представим себе числовую прямую $\mathbb{R}$ или $\mathbb{Q}$. Если вдруг на этой числовой прямой есть "дырка", то есть точки слева от этой дырки и точки справа от неё. Эти точки образуют два множества. То есть если "дырку" где и искать, то между двумя множествами, причём самый интересный случай (и именно он как раз и используется чаще всего) - это когда эти два множества исчерпывают всю нашу числовую прямую. Это и используется в определении.

Кстати заметьте, что в Вашем примере с рациональными множествами $A$ и $B$ - Вы не просто выделяли эти множества в $\mathbb{Q}$, а Вы разбили $\mathbb{Q}$ на эти два множества, т.е. каждая рациональная точка лежит либо в $A$, либо в $B$.

----------

Но лучше всего "недырчатость" описывает понятие связности. (Правда, оно уже относится не к структуре порядка, как плотность или полнота, а к топологической структуре.) Его можно сформулировать очень похоже на определение полноты, которое "с двумя множествами" - хотя различие есть.

Вначале вводится понятие точки прикосновения - поищите где-нибудь, если не знаете. Затем определим прикосновение двух множеств: два множества называются соприкасающимися, если одно из них содержит некоторые точки прикосновения другого множества. Неформально это означает, что эти два множества "вплотную и без дырок" примыкают друг к другу. Наконец, множество называется связным, если его нельзя разбить на два непустых несоприкасающихся множества (неформально говоря, если оно цельное, а не состоит из нескольких несоприкасающихся кусков).

(Сразу скажу, что это не совсем стандартное определение связности, но эквивалентное тому, какое обычно даётся в учебниках.)

И вот, как раз получается, что $\mathbb{Q}$ несвязно, в нём куча дырок, а вот $\mathbb{R}$ связно.