Аксиома полноты

[student1138]

Цитата:

Но лучше всего "недырчатость" описывает понятие связности.

Не хочу лезть в эти дебри т.к. там уже возникают какие-то понятия топологии. Если я с этим начну разбираться то вопросов станет еще больше. Возможно ли составить понятие о "полноте", оставаясь, грубо говоря, в рамках первых глав учебника Зорича по мат.анализу?

Я сейчас рассуждаю так. Корень из двух отсутствет в $\mathbb{Q}$, поэтому $\mathbb{Q}$ мы называем неполным. Тоесть неполное множество - это множество, в котором "не хватает" какого-то элемента. Но это же странно, тогда вообще полных множеств у нас не может быть. Например во множестве {1,2,3} отсутствует элемент 5 - оно неполное или во множестве $\mathbb{R}$ отсутствует элемент "слон" - значит оно тоже не полное.

Или вот такой пример. Совершенно аналогично тому как в $\mathbb{Q}$ отсутствует число, квадрат которого равен $2$, так же в $\mathbb{R}$ отсутсвует число, квадрат которого равен $-1$. Получается оно неполное?

Или вот совсем взрывающий мозг пример. Множество $\mathbb{Z}$ - полное, в нем "всего хватает". Добавим в это множество все элементы из $\mathbb{Q}$, после чего в полученном множестве уже станет "не хватать" элемента $\sqrt{2}$. Но это уже совсем абсурд: в множестве "всего хватает", мы ДОБАВИЛИ ЭЛЕМЕНТЫ после чего в множестве стало не хватать элемента!

[Mikhail_K]

Ну, Вы должны понимать, что фразы "всего хватает" или "чего-то не хватает" совсем нестрогие, и поэтому нельзя на основе их строить какие-то логические умозаключения. Если Вы это будете делать, то придёте к ошибке или противоречию, как в Вашем последнем абзаце.

(Лирическое отступление)

Но на самом деле, вот так тренировать свою интуицию бывает полезно. Только не надо останавливаться на каком-то одном толковании (например, "чего-то не хватает" - значит неполнота), надо учиться видеть границы своих интуитивных представлений: когда они работают, а когда перестают работать. И там, где перестают, уточнять их.

Скорее всего, такую работу должен производить каждый изучающий математику самостоятельно (ну, конечно, если ему это вообще нужно для понимания; если ему достаточно сухих формальных определений и теорем, то в общем это прекрасно). И у разных людей в итоге могут получиться разные интуитивные представления для одних и тех же понятий.

Хотите "свыкнуться" с каким-нибудь математическим понятием - решайте больше задач, где оно встречается или используется. Постепенно, интуитивные представления появятся сами собой.

[student1138]

Делаю последнюю попытку и все. Вот скажите я примерно правильно понимаю что если множество плотно но при этом в нем отсутствует какой-то элемент, сравнимый с элементами этого множества, то мы обнаружим в этом множестве неполноту?

На примере $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$: в обоих остуствует $\sqrt{2}$. Но в $\mathbb{Z}$ любой интервал имеет совершенно определенную границу. В качестве $c$ всегда можно выбрать наименьшее или наибольшее число одного из подмножеств. Но в $\mathbb{Q}$ у интервала нет определенной границы (наименьшего/наибольшего элемента) именно за счет плотности! Какой бы элемент мы не взяли - всегда найдется элемент немного меньше/больше. Поэтому если в качестве подмножеств взять интервалы меньше и больше несуществующего элемента то как-раз обнаружим невозможность выбора $c$

Именно поэтому аксиома сформулирована в терминах подмножеств!! Нам нужно работать именно с интервалами!!

[Mikhail_K]

student1138 в сообщении #1251099 писал(а):

Вот скажите я примерно правильно понимаю что если множество плотно но при этом в нем отсутствует какой-то элемент, сравнимый с элементами этого множества, то мы обнаружим в этом множестве неполноту?

Такое представление можно иметь для себя, оно может быть полезным, но к нему - как и ко всем другим интуитивным представлениям - не нужно относиться слишком серьёзно, и нужно всегда быть готовым, что оно когда-нибудь перестанет работать и придётся его уточнять (опять же, для себя). Пока оно работает, им можно пользоваться, но серьёзно воспринимать нужно только одно - строгое определение как оно есть.

Вот, например, множество $\mathbb{R}$ тоже можно расширить до множества гипердействительных чисел - так делают в нестандартном анализе. И хотя $\mathbb{R}$ полно, гипердействительные числа умещаются, в том числе, между действительными. Например, существуют "бесконечно малые" гипердействительные числа, которые больше нуля, но меньше любого, самого малого действительного числа. Так что с точки зрения гипердействительных чисел, в $\mathbb{R}$ тоже "много дырок", которые нужно заполнить так же, как "дырки" в $\mathbb{Q}$ мы заполняли иррациональными числами при построении $\mathbb{R}$.

Так что здесь Ваше интуитивное представление о полноте перестаёт работать. Но это не значит, что оно совсем неверное - пока оно работает, его можно для себя иметь в виду - только не надо к нему относиться серьёзно. Относитесь серьёзно только к строгим определениям.

Наверное, чуть точнее было бы сказать так: полнота означает не то, что "дырок нет", а то, что эти "дырки" невозможно обнаружить с помощью одной конкретной процедуры - именно, с помощью поиска промежуточных точек между двумя множествами. О том, можно ли "обнаружить дырки" и "заполнить их" какими-то другими способами, полнота ничего не говорит.

(Оффтоп)

student1138 в сообщении #1251099 писал(а):

Именно поэтому аксиома сформулирована в терминах подмножеств!! Нам нужно работать именно с интервалами!!

Разумное зерно в этом есть, но строго сформулировать его сложно и вряд ли нужно. Поймите, что при поиске интуитивных представлений каждый математик, в общем, одинок - Вы можете испытывать сильные эмоции насчёт своего интуитивного понимания каких-то определений, но передать это понимание другим математикам, сравнить его с имеющимся у других - не всегда возможно. Для общения математиков между собой подходят только строгие определения, а интуитивные представления - это, по большей мере, для общения с самим собой.

[ewert]

mihaild в сообщении #1250957 писал(а):

Есть два разных понятия - полнота по Коши (любая фундаментальная последовательность сходится) и полнота по Дедекинду (любое сечение задается некоторым элементом). Первая определяется через метрику, вторая через порядок.

Они эквивалентны (возможно, с точностью до аксиомы Архимеда).

student1138 в сообщении #1250976 писал(а):

А что такое полнота? Не в смысле выполнения аксиомы полноты. А по-существу, наглядно. Почему аксиома сформулирована так как она сформулирована?

Неизвестно. Поскольку существует целая куча возможных формулировок аксиомы полноты/непрерывности.

Mikhail_K в сообщении #1250955 писал(а):

Но вот - можно ли определить $\mathbb{R}$ как пополнение метрического пространства $\mathbb{Q}$ с этой метрикой?
Мне кажется, нет - потому что в определении метрического пространства уже используется $\mathbb{R}$ (метрика, по определению, есть вещественнозначная функция пары точек из пространства).

Можно и даже в определённом смысле нужно. Это называется подходом Кантора -- наиболее идейном (хотя и наиболее абстрактном) подходе к определению вещественного числа. На множестве рациональных чисел вовсе не обязательно задавать метрику как вещественнозначную; достаточно как рациональнозначную.

То, что потом (после того, как вещественные числа уже определены) во всех процедурах пополнения метрика подразумевается вещественной -- это уже сугубо формальный вопрос. Сама же процедура остаётся ровно той же.

student1138 в сообщении #1250968 писал(а):

Далее легко доказываем что $c^2$ не может быть больше двух и меньше двух.

Не так уж и легко, как может показаться на первый взгляд. Т.е. несложно, но не совсем на автомате. Там возникают квадратичные неравенства, а решать их явно нельзя -- квадратного корня-то пока нет. Придётся эти неравенства огрублять.

[student1138]

Ок, всем большое спасибо. Тогда пока буду без задней мысли придерживаться стандартного определения!

[ewert]

Так их много, стандартных-то. Вот несколько эквивалентных формулировок.

1. Каждое ограниченное множество имеет супремум.

2. Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.

3. Принцип вложенных отрезков (если отрезки вложены друг в друга и их длины стремятся к нулю, то их пересечение есть некоторая точка).

4. Принцип компактности (из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность).

5. Критерий Коши (сходимость последовательности равносильна её фундаментальности).

Все эти утверждения равносильны, т.е. любое из них следует из любого другого. Соответственно, любое можно принять в качестве аксиомы полноты. Правда, с точностью до аксиомы Архимеда: кто-то из них требует эту аксиому в дополнение к себе, из других же аксиома Архимеда вытекает.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1251120 писал(а):

1. Каждое ограниченное множество имеет супремум.

Непустое,

ewert в сообщении #1251120 писал(а):

3. Принцип вложенных отрезков (если отрезки вложены друг в друга и их длины стремятся к нулю, то их пересечение есть некоторая точка).

Излишне требование стягиваемости.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1251126 писал(а):

Излишне требование стягиваемости.

Дело вкуса. Если мы хотим, чтобы точка была ровно одна (а в этой цепочке нужно именно это), то стягиваемость обязательна, естественно.

Brukvalub в сообщении #1251126 писал(а):

Непустое,

Пустое, между прочим, тоже имеет супремум, но уже по тривиальным причинам.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1251108 писал(а):

Можно и даже в определённом смысле нужно. Это называется подходом Кантора -- наиболее идейном (хотя и наиболее абстрактном) подходе к определению вещественного числа.

Если что, я в курсе:

Mikhail_K в сообщении #1250955 писал(а):

Я, конечно, не хочу сказать, что эти трудности существенны. Разумеется, можно определить $\mathbb{R}$ как множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из $\mathbb{Q}$, и всё в таком определении будет корректно.
Но вот не стоит говорить, что это определение $\mathbb{R}$ как пополнения метрического пространства $\mathbb{Q}$.

[mihaild]

ewert в сообщении #1251108 писал(а):

Они эквивалентны (возможно, с точностью до аксиомы Архимеда).

Именно с точностью. В гипервещественных числах фундаментальные последовательности всё еще сходятся, но множество натуральных чисел ограничено, а верхней грани у него нет.

Brukvalub в сообщении #1251126 писал(а):

Излишне требование стягиваемости.

Действительно дело вкуса, но со стягиваемостью проще переносить на произвольные метрические пространства.

ewert в сообщении #1251127 писал(а):

Пустое, между прочим, тоже имеет супремум, но уже по тривиальным причинам.

И какой же? (мы на обычной прямой, не компактифицированной)

[ewert]

mihaild в сообщении #1251221 писал(а):

И какой же?

А угадайте. У меня на лекциях иногда хоть кто-то из студентов догадывается сходу.

[mihaild]

ewert в сообщении #1251414 писал(а):

А угадайте.

Угадывать не умею. Попробую посчитать.
1. $x = \sup \varnothing$
2. $(\forall y \in \varnothing: x \geqslant y) \wedge (\forall y: (\forall z \in \varnothing: y \geqslant z) \rightarrow y \geqslant x)$
3. $\top \wedge (\forall y: \top \rightarrow y \geqslant x)$
4. $\forall y: y \geqslant x$
5. $x - 1 \geqslant x$
6. $-1 \geqslant 0$
Какой переход неверен?

[ewert]

mihaild в сообщении #1251437 писал(а):

2. $(\forall y \in \varnothing: x \geqslant y) \wedge (\forall y: (\forall z \in \varnothing: y \geqslant z) \rightarrow y \geqslant x)$

Ну это какое-то занудство. Всё гораздо проще. Число $c$ называется верхней границей множества $M$, если

$$(\forall x\in M)\ \ x\leqslant c.$$

Или, что эквивалентно -- если

$$x\in M\ \ \Rightarrow\ \ x\leqslant c.$$

А теперь подставим в последнее утверждение $M=\varnothing$. Что это будет означать для $c$ ?...

[mihaild]

ewert в сообщении #1251442 писал(а):

Ну это какое-то занудство.

"Занудность" не является ошибкой в рассуждении:)

ewert в сообщении #1251442 писал(а):

Что это будет означать для $c$ ?

Я не знаю, что значит "означать для $c$" в данном контексте. Утверждение $\forall x \in \varnothing: x \leqslant c$, естественно, истинно для всех $c$ (см. замену первой скобки у меня в переходе $2 \to 3$). Любое число является верхней границей пустого множества.
Супремум - это наименьшая из верхних границ. Предъявите, пожалуйста, наименьшее число из $\mathbb{R}$.