Можно ли вывести формулу произвольной последовательности

[granit201z]

Возможно ли произвольную целочисленную конечную последовательность объединить в одной формуле члена последовательности?

Например, дана последовательность $(7, 20403, 189, 501, 16, 9065)$. Возможно ли вывести для нее формулу члена последовательности?

[Aritaborian]

Да запросто. Через шесть точек проходит полином пятой степени. Найти его коэффициенты не проблема.

[3D Homer]

Тогда следующий вопрос. А для всякого ли рекуррентного отношения, например, $x_{n+1}=f(x_n)$, $x_0=a$существует решение в виде одной формулы $x_n=g(n)$?

[granit201z]

Aritaborian в сообщении #1250609 писал(а):

Через шесть точек проходит полином пятой степени. Найти его коэффициенты не проблема.

Т.е. Вы имеете ввиду взять члены последовательности как корни уравнения n-ой степени и составить по ним это уравнение? Но ведь в этом случае не будет учитываться порядок следования их в последовательности. Или я Вас неправильно понял?

[Cash]

Aritaborian в сообщении #1250609 писал(а):

Да запросто. Через шесть точек проходит полином пятой степени. Найти его коэффициенты не проблема.

С целочисленностью проблемы возникнут
Upd. Сорри. Я невнимательно условие прочел.

[3D Homer]

granit201z в сообщении #1250617 писал(а):

Т.е. Вы имеете ввиду взять члены последовательности как корни уравнения n-ой степени и составить по ним это уравнение?

Нет. Имеется в виду взять точки $(n,x_n)$, $n=1,\dots,6$ и найти полином $f$, график которого проходит через эти точки, то есть $f(n)=x_n$.

[Mikhail_K]

granit201z, гуглите "интерполяцию".

Cash в сообщении #1250619 писал(а):

С целочисленностью проблемы возникнут

Про целочисленность коэффициентов самой формулы ТС ничего не говорил.

[Dmitriy40]

Заменять 6 чисел на 6 коэффициентов (тем более вещественных) не интересно, вот уменьшить количество чисел - да. Если это вообще возможно, в общем случае.

[Mikhail_K]

Dmitriy40 в сообщении #1250624 писал(а):

Заменять 6 чисел на 6 коэффициентов (тем более вещественных) не интересно, вот уменьшить количество чисел - да.

Ну, взаимно однозначное отображение чего-то $n$-мерного на что-то $m$-мерное в принципе возможно, но ожидать от такого отображения чего-то хорошего не приходится.

[Dmitriy40]

Т.е. только лишь перебор нескольких "хороших" функций по списку и проверка не подходят ли? Жаль. Тоже надеялся есть некий общий метод, разумеется при условии что в данных таки реально есть некая закономерность.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1250624 писал(а):

Заменять 6 чисел на 6 коэффициентов (тем более вещественных) не интересно, вот уменьшить количество чисел - да. Если это вообще возможно, в общем случае.

Заменить $6$ чисел на одно можно легко, если наложить ограничения на входные числа, например если они натуральные меньшие $100$, то $6$ чисел, например: $35,7,3,9,10,53$, в одно преобразуем так: $350703091053$

Dmitriy40 в сообщении #1250634 писал(а):

Тоже надеялся есть некий общий метод, разумеется при условии что в данных таки реально есть некая закономерность.

По сути речь идет об уплотнении ("архивации"). Ясно, что существуют такие последовательности, которые уже не уплотнишь.

[Andrey A]

wrest в сообщении #1250639 писал(а):

По сути речь идет об уплотнении ("архивации").

Похоже на то. Заархивировать конечную последовательность натуральных чисел можно в рациональную точку, если её по каким-то причинам удобней хранить. Разархивация - разложение в непрерывную дробь, вряд ли тут может быть более экономный способ: $\frac{1961752881034892}{280248449341331}=7,20403,189,501,16,9065.$ Можно и в целую точку. Например как последовательность знаков разложения дробной части квадратного радикала некоторого целого числа (в котором оказывается 53 десятичных знака), или так: целое число, двоичная запись которого содержит в порядке следования 7 единиц, 20403 нуля, 189 единиц, 16 нулей, и т.д. А вот если бы речь шла об архивации неупорядоченных множеств, числа были бы поменьше: $\frac{7849988494930}{1046877256563}=7,2,164,139,8252,2774.$

\mbox{$7+2=9,9+164=173,173+139=312,312+8252=8564,8564+2774=11338$}

\mbox{$7+9=16,16+173=189,189+312=501,501+8564=9065,9065+11338=20403$}

Итого $7,16,189,501,9065,20403.$ Тут еще требуется указание порядка суммирования.

[Sinoid]

granit201z в сообщении #1250617 писал(а):

Но ведь в этом случае не будет учитываться порядок следования их в последовательности

Будет учитываться: $f(1)=7$, $f(2)=20403$ и т.д.

[granit201z]

Sinoid в сообщении #1250790 писал(а):

Будет учитываться: $f(1)=7$, $f(2)=20403$ и т.д.

Все, я понял. При желании так можно и рекурсивную функцию сделать: $f(1)=7$, $f(7)=20403$, $f(20403)=189$ и т.д.

[Aritaborian]

granit201z в сообщении #1250826 писал(а):

Все, я понял.

Боюсь, что не поняли. Как вы собираетесь конструировать рекурсивную функцию?