О неоднозначности обобщений уравнений Максвелла в ОТО

[andrey1782]

Здравствуйте,

Вот решение задачи 14.16 из " Сборник задач по теории относительности - Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски."
ссылка на изображение, размер: 262 кбайт, 1024 x 576 точек

Кратко запишу элементарное обобщение этого решения:
В отсутствии токов вторая пара уравнений Максвелла имеет вид:

$F^{\mu \nu}_{,\nu}=A^{\nu,\mu}_{,\nu}-A^{\mu,\nu}_{,\nu}=A^{\nu,\mu}_{,\nu}-A^{\mu,\nu}_{,\nu}+\delta(A^{\nu,\mu}_{,\nu}-A^{\nu,\nu}_{,\mu})=0$

Далее осуществим обобщение данного уравнения, заменяя запятую на точку с запятой, тогда:

$A^{\nu;\mu}_{;\nu}-A^{\mu;\nu}_{;\nu}+\delta(R^{\mu}_{\sigma}A^{\sigma})=0$
последнее соотношение можно записать в форме:
$F^{\mu \nu}_{;\nu}=-\delta(R^{\mu}_{\sigma}A^{\sigma})=0$

Так для сравнения с другими учебниками (скажем с "Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика ТЕОРИЯ ПОЛЯ") где по умолчанию полагается $\delta=0$, в " Сборник задач по теории относительности - Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски." предлагается провести эксперимент для выяснения чему равно $\delta$.
В силу того что у меня нет возможности провести эксперимент, а мои попытки найти обсуждения этой неоднозначности не увенчались успехом, я и задаю вопрос здесь на форуме.

[Munin]

Вообще-то задачник называется Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски.

А хотелось бы узнать, какие ещё источники (например, учебники) по ОТО вы читали по этому вопросу.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- содержательную информацию требуется набрать в текстовом виде (краткие инструкции для формул: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Red_Herring]

В последнем уравнении $=0$ лишнее

[andrey1782]

Red_Herring в сообщении #1249700 писал(а):

В последнем уравнении $=0$ лишнее

Да, опечатка.
Не знаю как исправить.

[Munin]

Оцените, какую величину должны иметь $R$ и $A,$ чтобы дать эффект, сравнимый с лабораторным током порядка $J\sim 1\tfrac{\text{мА}}{\text{мм}^2}.$

[andrey1782]

Munin в сообщении #1249718 писал(а):

Оцените, какую величину должны иметь $R$ и $A,$ чтобы дать эффект, сравнимый с лабораторным током порядка $J\sim 1\tfrac{\text{мА}}{\text{мм}^2}.$

Тогда уж надо сравнивать эффект вносимый правой частью $ \delta AR $ с эффектом обусловленной появлением слагаемым со связностью в левой части $ \Gamma F $. Если эти слагаемые сопоставимы, то при переходе к ОТО их нужно либо вместе учитывать либо вместе не учитывать. Последний случай означает, что обобщение (ОТО) нам не интересно вообще.


Меня по большому счёту интересует рассматривался ли этот вопрос в литературе так как я ,мягко говоря, не обладая эрудицией по вопросам ОТО.

А так получается в силу произвольности $ \delta$ произвол при обобщении (ОТО) вообще ничем ни фиксирован.

[Munin]

Этому эффекту далеко до экспериментальной проверки. Самое лучшее, что известно из взаимодействия электромагнитного поля с гравитационным - это отклонение света гравитацией (включая замедление - эффект Шапиро). Вряд ли там он вообще проявляется, а уж тем более с заметной величиной.

[andrey1782]

Munin в сообщении #1249762 писал(а):

Этому эффекту далеко до экспериментальной проверки. Самое лучшее, что известно из взаимодействия электромагнитного поля с гравитационным - это отклонение света гравитацией (включая замедление - эффект Шапиро). Вряд ли там он вообще проявляется, а уж тем более с заметной величиной.

То есть ситуация с 1975 года не изменилась.
Исходя лишь из соображений простоты обобщение(ОТО), по умолчанию, выбирается в наиболее простом варианте.

Я правильно понял какое положение дел на данный момент?

[Munin]

Ага.

[Erleker]

andrey1782
Да, примерно так. Правило "запятая переходит в точку c запятой" - некоторое упрощение (за более фундаментальными принципами) и его следовало бы применять прежде всего к действию, а не к в произвольной форме выписанному уравнению. Перейти от:
$S_{f}=-\frac{1}{16\pi c}\int\limits_{}^{} (A_{k,i}-A_{i,k}) (A_{v,u}-A_{u,v}) g^{iu}g^{kv}dVdT$ к:
$S_{f}=-\frac{1}{16\pi c}\int\limits_{}^{} (A_{k;i}-A_{i;k}) (A_{v;u}-A_{u;v}) g^{iu}g^{kv}\sqrt{-g}d^4x$
Что и дало бы стандартное обобщение.

Однако модернизировать его различными инвариантами из всяких $R$ (оставляя обычным в плоском ПВ) , теоретически действительно ничего не мешает. Экспериментально то действительно проверки нет.
У Горбунова-Рубакова в 2.3, кажется, пару слов было про это...

[andrey1782]

Munin в сообщении #1249779 писал(а):

Ага.

Erleker в сообщении #1249870 писал(а):

andrey1782
Однако модернизировать его различными инвариантами из всяких $R$ (оставляя обычным в плоском ПВ) , теоретически действительно ничего не мешает. Экспериментально то действительно проверки нет.
У Горбунова-Рубакова в 2.3, кажется, пару слов было про это...

Меня вот только смущает то, что при обобщении с правой частью вида $AR$ мы имеем источник определённый, вообще говоря, через нефизическое поле $A. Как мне кажется, мы теряем при этом калибровучную инвариантность.

Не вводит ли нас задачник "Лайтман... " в заблуждение?

[Munin]

andrey1782 в сообщении #1249925 писал(а):

Как мне кажется, мы теряем при этом калибровучную инвариантность.

Так это напрямую проверяется. Проверьте.

[andrey1782]

Munin в сообщении #1249981 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1249925 писал(а):

Как мне кажется, мы теряем при этом калибровучную инвариантность.

Так это напрямую проверяется. Проверьте.

Проверка в общем тривиальна. Дабавляю к $ A_{\nu} $ постоянное вктроное поле $ C_{\nu} $ и вижу что левая часть уравнения не менятся, а в правой повляется дополнительный ток $ j^{\mu}=C_{\nu} R^{\mu \nu} $.

Таким образом калибровочная симметрия не выполняется.