задача по теории полей

[Q_Q]

является ли $F_{27}$ полем разложения $x^2+x-1$ над каким-нибудь своим подполем?

[RIP]

Попробуйте ответить на вопрос: а имеет ли вообще данный многочлен корень в $\mathbb F_{27}$?

[kerz-3-06]

каким образом можно это сделать?

[RIP]

Например, можно воспользоваться чем-нибудь из того, что я писал здесь: http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=10877&start=0

[kerz-3-06]

к сожалению не нашел ничего нужного. можно какие-нить теоритические факты, которыми следует воспользоваться?!

[enko]

Точно не знаю, но думаю тут что-то связанно с размерностью поля над подполем.
Полином 2-й стнепени, а степень расширения степень 3

[kerz-3-06]

что нам это даст?!

[RIP]

Я бы воспользовался первым и третьим фактами из тех, что я перечислил в этом посте.

[enko]

kerz-3-06 писал(а):

что нам это даст?!

Если не ошибаюсь, размерность поля разложения должна совпадать с размерностью полинома, если он неприводимый..

[kerz-3-06]

нет, вроде это не обязательно

[RIP]

Для конечных полей это так и есть. Только обычно употребляют слово "степень", а не "размерность".

[kerz-3-06]

спасибо

Добавлено спустя 23 минуты 31 секунду:

enko писал(а):

Если не ошибаюсь, размерность поля разложения должна совпадать с размерностью полинома, если он неприводимый..

а из каких соображений мы делаем такой вывод?

[enko]

RIP писал(а):

Только обычно употребляют слово "степень", а не "размерность".

А я встречал именно размерность базиса поля как линейного пространства над подполем

Добавлено спустя 5 минут 4 секунды:

kerz-3-06 писал(а):

спасибо

Добавлено спустя 23 минуты 31 секунду:

enko писал(а):

Если не ошибаюсь, размерность поля разложения должна совпадать с размерностью полинома, если он неприводимый..

а из каких соображений мы делаем такой вывод?

Может можно вывести утверждение прямо по построению поля разложения..т.е. мы присоединяем к основному полю все корни полинома

[RIP]

kerz-3-06 писал(а):

а из каких соображений мы делаем такой вывод?

Например, из таких. Пусть $p(x)$ - неприводимый многочлен степени $n$ над конечным полем $\mathbb F_q$, для определённости унитарный (старший коэффициент равен 1). Путём присоединения любого корня многочлена $p(x)$ к полю $\mathbb F_q$ получается одно и то же поле $\mathbb F_{q^n}$ (присоединение происходит в некотором фиксированном алгебраическом замыкании поля $\mathbb F_q$; в случае произвольных полей при присоединении различных корней получаются, вообще говоря, различные (но изоморфные) поля). То есть в отличие от случая произвольных полей, где присоединение одного корня многочлена позволяет "отщепить", вообще говоря, только один линейный множитель, в случае конечного поля сразу получается полная факторизация (более того, над полем $\mathbb F_{q^n}$ будет выполнено $p(x)=(x-\theta)(x-\theta^q)\ldots(x-\theta^{q^{n-1}})=\prod_{k=0}^{n-1}\bigl(x-\theta^{q^k}\bigr)$, где $\theta$ - любой корень $p(x)$). Впрочем, в нашем случае степень многочлена равна 2, поэтому можно обойтись и более простыми соображениями.

[Pyphagor]

RIP писал(а):

Попробуйте ответить на вопрос: а имеет ли вообще данный многочлен корень в $\mathbb F_{27}$?

Т.е. показать, что не существует решения ур-ия $x^2+x-1=0(mod 27)$ ?
Если да, то это совсем просто.