Все линии содержат одинаковое количество точек?

[granit201z]

Если взять две произвольные конечные линии, между точками, составляющими эти линии практически всегда можно построить биекцию независимо от длинны этих линий. Но тогда получается, что и интервал $[0, x]$ при $x\to0$ и интервал $[0, y]$ при $y\to\infty$ равномощны, т.е. количество точек на любой конечной линии одинаково?

[Mikhail_K]

Да, при любых $x,y\in(0,+\infty)$, хоть маленьких, хоть больших, множества $[0,x]$ и $[0,y]$ равномощны. Более того, отрезок $[0,x]$ с любым конечным $x>0$ равномощен даже бесконечному лучу $[0,+\infty)$ или прямой $(-\infty,+\infty)$! Равномощность нарушается только при $x=0$: одноточечное множество не равномощно никаким промежуткам с ненулевой длиной, хоть конечным, хоть бесконечным.

P.S. Если Вы используете квадратные скобки в обозначениях $[0,x]$, $[0,y]$, то это не интервалы, а отрезки: они содержат свои концы. Впрочем, для интервалов Ваше утверждение тоже верно.

P.P.S. В серьёзных текстах фраза "количество точек на линии" обычно не произносится. Говорят просто "мощность".

[grizzly]

Mikhail_K в сообщении #1248344 писал(а):

В серьёзных текстах фраза "количество точек на линии" обычно не произносится. Говорят просто "мощность".

То есть, вместо "количество точек на линии" говорят просто "мощность множества точек линии".

[granit201z]

grizzly в сообщении #1248349 писал(а):

То есть, вместо "количество точек на линии" говорят просто "мощность множества точек линии".

Эта мощность и есть континуум?

[grizzly]

granit201z в сообщении #1248353 писал(а):

Эта мощность и есть континуум?

Да.

[granit201z]

Следует ли из всего этого, что "любое целое равняется своей части"???. Ведь мощность множества точек любой произвольной линии, будет равна мощности множества точек линии, полученной продлением исходной линии в любом направлении на любую величину. Но при этом исходная линия будет частью полученной линии

[Mikhail_K]

Да, справедливо утверждение: любое бесконечное множество равномощно некоторому своему собственному подмножеству (т.е. не совпадающему с самим этим множеством).

[grizzly]

granit201z в сообщении #1248375 писал(а):

Следует ли из всего этого, что "любое целое равняется своей части"?

Не любое конечно. Но что касается бесконечных множеств, то для них чаще всего используют как раз такое определение: множество называют бесконечным, если оно равномощно какому-то из своих подмножеств (не равное самому множеству).
Например, множество чётных чисел равномощно множеству целых чисел.

granit201z
Это сложные вопросы. Вряд ли кто-то здесь станет Вам объяснять всё с самого нуля. Вам нужно почитать какую-то книжку, в которой всё это аккуратно объясняется для новичков. Я посоветовал бы "Рассказы о множествах" Виленкина.

[arseniiv]

granit201z
Есть слухи, что и сам Кантор, получив некоторые подобные результаты, а так же, например, равномощность отрезка и квадрата, а так же куба и вообще даже любого $\mathbb R^n$, тоже неслабо удивился, ожидая, что мощности множеств будут всё-таки связаны с их размерностями. Оказалось, как видите, что нет, и что одной только мощности множества недостаточно, чтобы говорить о, скажем, длинах-площадях-объёмах, расстояниях и размерностях пространств. Для этого на множествах вводятся меры, метрики и всякие другие вещи. Множество $\mathbb R$ действительных чисел — одно из наиболее в этом плане ээ… счастливых, на нём целый вагон всяких структур: это алгебраическое поле и евклидово пространство с ориентацией (и аффинное евклидово), и метрика на нём, и топология, и мер всяких полно, и чего я там ещё забыл. Но не надо думать, что это всё бывает естественно ввести на каком угодно множестве.

[Someone]

grizzly в сообщении #1248386 писал(а):

Но что касается бесконечных множеств, то для них чаще всего используют как раз такое определение: множество называют бесконечным, если оно равномощно какому-то из своих подмножеств (не равное самому множеству).

Ну нет, я не соглашусь. Чаще всего множество называют конечным, если оно равномощно какому-нибудь натуральному числу (на языке топикстартера: количество элементов в множестве равно какому-нибудь натуральному числу; число $0$ при этом считается натуральным). А определение Дедекинда, которое Вы процитировали, в отсутствие аксиомы выбора зачисляет в конечные весьма странные множества, мощность которых больше любого натурального числа и несравнима с мощностью натурального ряда. Хотя с аксиомой выбора оба определения равносильны.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1248389 писал(а):

Есть слухи, что и сам Кантор, получив некоторые подобные результаты, а так же, например, равномощность отрезка и квадрата, а так же куба и вообще даже любого $\mathbb R^n$, тоже неслабо удивился

Доказывал-то он ровно противоположные вещи.

[arseniiv]

Ну, пришлось доказать, чтобы быть спокойным, конечно. (Точнее, я не помню, что из интересующего доказал сам Кантор, а что другие его современники — кажется, было и так, и эдак.) Нередко бывает: ищешь доказательство, а находишь опровержение. Или наоборот. И это счастливые случаи! Чаще-то (усредним по всем людям и временам) ищешь и не находишь.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

можно ли сказать что равномощность - это возможность поделить любые [0,x] и [0,y] на любое $n \in R$ ?

[atlakatl]

Soul Friend

(Оффтоп)

Конечно, нет. Один из отрезков может содержать только рациональные числа, но всё равно делиться на любое $n \in R$

[granit201z]

atlakatl в сообщении #1248578 писал(а):

Один из отрезков может содержать только рациональные числа

Отрезок - это только то что можно представить сплошной линией (частью прямой) или не только? Ведь то, что представлено сплошной линией (т.е. непрерывно) не может состоять только из рациональных чисел, т.к. между ними, для того чтобы соблюсти условие непрерывности, насколько я понимаю можно запихать еще целое множество чисел, причем всегда одной и той же мощности.

-- 18.09.2017, 09:36 --

Кстати. Вот дан отрезок $[0, 1]$. Он содержит множество действительных чисел мощностью "континуум". Увеличим отрезок вдвое, т.е. "континуум" должен будет умножиться на два - но в итоге получим тот же "континуум". Нет ли здесь некоторой аналогии с нулем?