Нестерпний Мойша

[atlakatl]

Жмеринские и винницкие купцы страсть как не любили биндюжника Мойшу. Но другого не было: чтоб не пил, не воровал, товар быстро доставлял, делал дело без затей, плохо только, что еврей.
Всю неделю Мойша развозил товары от одного купца к другому. Просили купцы дорого, и продажи были никудышные. Так что они большей частью обменивались товаром друг с другом: авось у Кузьмы сукно лучше пойдёт, чем у Василя.
Мойша брал плату за вёрсты. Купцам такое дело не нравилось: вёрсты прибавляет, христиан надувает. Когда Мойше надоело с ними ругаться, он в сердцах сказал: плату буду брать со всех равную, або-бо-не-немецкую. Грамотный и аж три класса за спиной, жид скаженный.Сосчитал все маршруты и вывел среднеарифметический перегон. Купцам затея понравилась. И решили они свои лавки так расставить меж Жмеринкой и Винницей, чтобы Мойша упарился сам и мерина своего Мордахая загнал.
Писарь Андрiй это дело быстро формализовал, - за четверть пива-то.
Итак:
На отрезке $[0, 1]$ расставлены 10 точек. Среднее арифметическое расстояний "каждая с каждой" $l_{ij}$ равно $m$. Надо расположить точки так, чтобы сумма квадратов разностей

$$\sum\limits_{1}^{10}(l_{ij}-m)^2$$

была максимальной.
ЛавкиТочки в одно место ставить можно.
Ну и найти максимум отклонений от среднего, если купцов не 10, а бесконечное множество.

Toucan:

См. post1248814.html#p1248814

[wrest]

Передвигаю купцов в экселе и получаю максимум по сумме квадратов равный $11,2$. Но при этом я считаю расстояние между парой купцов один раз (т.е. если между 3 и 4 посчитал, то между 4 и 3 уже не считаю), и в сумме квадратов тоже считаю один раз. Расстояния купцов с самими собой тоже не учитываю. Или по каждой паре купцов надо считать два раза, а также нулевые между одним и тем же купцом?

[atlakatl]

wrest
Всё верно. Маршрутов между 10 купцами $(10 \cdot 9)/2=45$. Именно это число использовал Мойша при расчёте m.
Ответ должен содержать координаты точек на отрезке.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1247968 писал(а):

Ответ должен содержать координаты точек на отрезке.

Три или четыре купца в Жмеринке, остальные в Виннице. Или наоборот. Между Жмеринкой и Винницей лавок нет.

p.s. Для бесконечного количества купцов у меня ответа нет.

[atlakatl]

wrest
Считаем m, если все лавки в городах. - Т.е. все $l_{ij}=0$ или $l_{ij}=1$.
Для $k=3$ купцов в Жмеринке, остальные в Виннице, получаем $3 \cdot (10-3)=21$ единичный маршрут, остальные нулевые. Т.е. $m=21/45=7/15$. Аналогично, при $k=4, m=24/45=8/15$. Так?
А как дальше считали? И почему отклонения равны?

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1247972 писал(а):

И почему отклонения равны?

Наверно потому, что $21+24=45$ и $7/15+8/15=1$.

[atlakatl]

grizzly
Пока я вижу в этом просто забавную случайность.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1247979 писал(а):

Пока я вижу в этом просто забавную случайность.

А я -- ответ на Ваш вопрос. Но тоже не более того.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1247972 писал(а):

А как дальше считали? И почему отклонения равны?

Вычитал среднее из каждой длины маршрута, возводил разность в квадрат, суммировал квадраты по всем маршрутам. В экселе прямо, без задних мыслей.
Отклонения равны, да. Хотя средние не равны.
Ну судя по тому что я получал случайными распределениями купцов по трассе, сумма квадратов равная 11,2 очень похожа на максимум.

Ну почему отклонения равны понятно, уже написали выше в комментариях.

Я с телефона, трудно формулы писать, но вроде всё элементарно.

[atlakatl]

wrest
$(1-7/15)^2 \cdot 21=5,973333$
$(1-8/15)^2 \cdot 24=5,226667$
Что я не так делаю?

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1247995 писал(а):

Что я не так делаю?

$(1-7/15)^2 \cdot 21+(0-7/15)^2 \cdot (45-21) = 11.2$
$(1-8/15)^2 \cdot 24+(0-8/15)^2 \cdot (45-24) = 11.2$

[wrest]

atlakatl в сообщении #1247995 писал(а):

Что я не так делаю?

дык слагаемых-то в сумме квадратов 45, по количеству маршрутов, и ни одно из них нулю не равно.

[atlakatl]

wrest
grizzly
Большое спасибо. Я второй член благополучно обнулил и забыл. Завтра продолжу решение.

[atlakatl]

Нашёл аналитику для континуума купцов: $f(x)=1-6x++12x^2-8x^3$. Здесь $x$ отношение количества купцов в Жмеринке к общему их числу:
Зелёным цветом сам график, а синим - производная. Как видим, всё скучно получилось. Максимум в середине, никакой несимметричной трансцендентности.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1248478 писал(а):

Нашёл аналитику для континуума купцов: $f(x)=1-6x++12x^2-8x^3$. Здесь $x$ отношение количества купцов в Жмеринке к общему их числу

Вот с этого момента добавьте, пожалуйста, подробностей. А то ведь непонятно, как Вы формализовали задачу, и к чему теперь придираться.
Если наращивать купцов постепенно, то максимальная сумма квадратов устремляется к бесконечности. Чем Вы заменяете эту сумму для несчётного числа? почему вдруг она падает почти до нуля? Или Вы переходите к дисперсии? Давайте лучше всё по порядку.