Шахматная математика

[granit201z]

Прошу прощения - возможно мои мысли несколько спутаны, но общая картина, думаю, будет ясна:

1. Шахматная клетка может принимать одно из 13 различных значений (0 - пустая клетка; 1 - клетка заполненная "белой пешкой" (белая пешка); 2 - белый конь; 3 - белый слон; 4 - белая ладья; 5 - белый ферзь; 6 - белый король; A - черная пешка; B - черный конь; C - черный слон; D - черная ладья; E - черный ферзь; F - черный король)
2. Шахматная композиция - целое 13-ричное 64-позиционное число
3. Максимальное число композиций на шахматной доске - 13^64
4. Шахматная партия - это последовательность 64-х значных 13-ричных чисел
5. Контрольное число - сумма всех цифр, составляющих шахматную композицию
6. Контрольная сумма не меняется, если ход без "взятия" фигуры, или "пешка не прошла в зону роста пешки"
7. Контрольная сумма уменьшается при взятии на "мощность взятой фигуры"
8. Контрольная сумма увеличивается при росте пешки на d_K_S = "мощность фигуры, до которой выросла пешка" - "мощность пешки"
9. Фигур не может быть больше 32
10. Каждая уникальная композиция связана с 20 - 40 другими композициями (кол-во возможных ходов)
11. Из нескольких разных композиций можно получить одну и ту же композицию.
12. Если из композиции №1 можно получить композицию №2, то из композиции №2 невозможно получить композицию №1. (т.к. "ход черных" не может отменить "хода белых")
13. В зависимости от того, чей ход из одной и той же композиции могут быть получены 2 различных дерева композиций. Одна и та же композиция представляет два разных дерева композиций (одно для "белых", другое для "черных")
14. Существует конечное число "матовых композиций".
15. Из 32-х фигур может быть получена лишь часть композиций от их максимально возможного количества (13^64). По принципу (123 132 213 231 312 321), но (1023 1203 1230 1032 1302 1320...)


НУЖНО СЛОЖЕНИЕМ И ВЫЧИТАНИЕМ ДОБИТЬСЯ ШАХМАТНОЙ ИГРЫ:
Правила изменения композиций.
5000 - 0500 - 0050 - 0005 (5+45+450+4500) это без взятия. Точнее 5000-4500-450-45. Причем не важно "слон" это или "ладья". Все зависит только от цифры, присвоенной фигуре.
6001 - 0601 - 0061 - 0006 (6 +54 + 540 + 5400) это три без взятия, один со взятием
причем прыгать может только "конь"

у каждой фигуры свой набор "перескоков" по разрядам

16. Любая шахматная композиция из 32 фигур может быть разложена в сумму 32 слагаемых, каждое из которых будет круглым числом в 13-ричной системе счисления
Например:
600...0CFD4 = 6*10(13)^63 + 0 + 0 +...+ 0 + C*10(13)^3 + F*10(13)^2 + D*10(13)^1 + 4*10(13)^0
17. В этой сумме ни один ее член не будет иметь одинаковую разрядность. Например, невозможно одновременно на доске будет 00...005000 и одновременно 00...006000
18. Универсальная функция хода до конца не проработана, но это не беда), . Любой ход может быть представлен универсальной функцией Y = F (X), где Y полученная композиция, X предшествующая композиция. Ориентировочно:
Y = X(как целиком вся сумма) - Xi(как i-й компонент этой суммы) + Xi2(как i-й компонент измененный по формуле фигуры - соответствует ходу фигуры, "перескок" по разрядам) - Xj(как j-й вражеский компонент той же разрядности что и Xi2)
Ход без взятия также попадает под эту формулу. В нем Xj=0
Ход "на свою фигуру" пока что не учтен этой формулой, но нужно учесть, т.е. сделать так, чтобы такая ситуация была невозможна.
Также не учтена рокировка и рост пешки

Используя универсальную формулу ходов (описана в п.18) можно составить "сеть игры" от "первоначальной композиции" до "матовых" и "ничейных композиций"

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

12. Если из композиции №1 можно получить композицию №2, то из композиции №2 невозможно получить композицию №1. (т.к. "ход черных" не может отменить "хода белых")
13. В зависимости от того, чей ход из одной и той же композиции могут быть получены 2 различных дерева композиций. Одна и та же композиция представляет два разных дерева композиций (одно для "белых", другое для "черных")

Да просто добавьте в композицию то, чей сейчас ход. И кстати

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

2. Шахматная композиция - целое 13-ричное 64-позиционное число

это совершенно необязательно вот так определять. Проще определить её как функцию $\mathsf a..\mathsf h\times1..8\to F$, где $F$ — множество состояний клетки, представлять которое подмножеством целых чисел совершенно не обязательно. Если вам так нужно определять сумму, всегда можно добавить функцию $F\to\mathbb Z$; притом это более гибкий подход, потому что можно определить много разных сумм, использующих разные оценки.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

Правила изменения композиций.
5000 - 0500 - 0050 - 0005 (5+45+450+4500) это без взятия. Точнее 5000-4500-450-45. Причем не важно "слон" это или "ладья". Все зависит только от цифры, присвоенной фигуре.
6001 - 0601 - 0061 - 0006 (6 +54 + 540 + 5400) это три без взятия, один со взятием
причем прыгать может только "конь"

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

17. В этой сумме ни один ее член не будет иметь одинаковую разрядность. Например, невозможно одновременно на доске будет 00...005000 и одновременно 00...006000

Слишком таинственно.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

Используя универсальную формулу ходов (описана в п.18) можно составить "сеть игры" от "первоначальной композиции" до "матовых" и "ничейных композиций"

Это проще делать без составления таких страшных целочисленных функций. В любом случае на среднем компьютере вы всё дерево не построите никаким из способов. Преимуществ в аналитическом разборе ваша функция тоже не даёт, потому что её представление будет просто (неоправданно усложнённым) обычным описанием правил шахмат.

[kotenok gav]

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

3. Максимальное число композиций на шахматной доске - 13^64

Нет.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

9. Фигур не может быть больше 32

Нет.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

10. Каждая уникальная композиция связана с 20 - 40 другими композициями (кол-во возможных ходов)

Количество возможных ходов, может быть и больше.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

12. Если из композиции №1 можно получить композицию №2, то из композиции №2 невозможно получить композицию №1. (т.к. "ход черных" не может отменить "хода белых")

Только если вы присвоете каждой композиции кто в ней ходит.
И, заодно, поправьте формулы, когда тему перенесут в Карантин.

[atlakatl]

kotenok gav в сообщении #1245749 писал(а):

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

Цитата:

9. Фигур не может быть больше 32

Нет.

В игре может случиться 18 ферзей, но как получить 33 фигуры, не представляю.

[kotenok gav]

Ошибся.

[granit201z]

и с максимальным числом композиций ошиблись))

возьмем для примера "байт". в нем так сказать "8 клеток", каждая из которых может принимать 2 значения (0 и 1). Всего же различных значений (ну или композиций, если угодно) байт может принять 2^8 = 256. А если взять "другой байт" - 64-х клеточный и значений у клетки не 2, а 13, то получится число 13^64. Обобщенная формула:

(максимальное значение любого (не только 8-ми клеточного и не только двуричного) байта) = (число значений клетки) ^ (количество клеток)


насчет количества возможных ходов я с вами согласен. Тут я и не претендовал на исключительную точность, а всего лишь несколько усреднил значение

[atlakatl]

granit201z в сообщении #1245764 писал(а):

то получится число $13^{64}$

На доске не может быть 64 короля. Ну и минимум половина цифр в каждом из 64 13-ричных чисел - это нули.
Вообще, точно посчитать все возможные позиции очень трудно. Расставить фигуры можно в любом порядке, но прийти ко многим расстановкам по шахматным правилам нельзя.

[granit201z]

Да, Вы правы. 13^64 это вообще максимально возможное число композиций на доске (а не только тех которые возможны из "начальной 32-фигурной расстановки"). это максимальное значение композиций от "всех пустых" до "всех черных королей". Но можно составить сеть из чисел. В "узлах" - композиции в "связях" - ходы. Т.е. всевозможная (прям вообще всевозможная, в том числе и из стандартной "начальной композиции") шахматная игра уместится просто в последовательность чисел. И уже по этой сети посчитать возможные варианты из стандартной "началки"

[kotenok gav]

Чтобы составить формулу выгрыша, сначала нужно математически записать все шахматные правила.
Пока сейчас я их запишу словесно, а потом сделаю математически (просьба без меня не делать):
Пешка вначале ходит на одну или на две клетки вперед.
Потом она ходит на одну клетку вперед.
Пешка бьет на одну клетку в северо-восточном или северо-западном направлении.
Взятие на проходе.
Если пешка достигла противоположного конца доски, она обязана превратится в любую фигуру кроме пешки и короля.
Король ходит на одну клетку в любом направлении.
Если королю обьявлен шах, то: или он уходит от шаха, или атакующую фигуру сбивает другая фигура, или короля заслоняет другая фигура; если же все это невозможно, то обьявляется мат.
Два короля не могут стоять рядом с друг другом.
Ферзь ходит на сколько угодно клеток, по диагонали, горизонтали, или вертикали.
Ладья ходит на сколько угодно клеток, по горизонтали, или вертикали.
Слон ходит на сколько угодно клеток по диагонали.
Конь ходит буквой Г.
Начальное рассположение.

-- 07 сен 2017, 17:03 --

Рокировка.

Upd 17:30 по аделаидскому времени. Первыми ходят белые.

[granit201z]

Вот уж не знаю... У меня подозрение, что формулы выигрыша в шахматах нет. Формула идеальной игры пожалуй есть, но ее результатами будут "ничьи". Хотя утверждать наверняка не возьмусь пока что.

[Лукомор]

1. То что Вы называете "композицией" - расположение фигур на шахматной доске, в шахматах принято называть термином "позиция".
2.

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

3. Максимальное число композиций на шахматной доске - 13^64

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

В зависимости от того, чей ход из одной и той же композиции могут быть получены 2 различных дерева композиций.

Вот эти два пункта вполне можно объединить в один, и считать, что позиция при ходе белых, и такая же самая позиция при ходе черных -
это-таки две разные позиции.
Кроме того, следует различать позицию в которой возможна рокировка от точно такой же позиции, в которой рокировка невозможна.
Например,
после ходов:
n). Кр e1-e2 Кg8-f6
n+1). Кр e2-e1 Kf6-g8
все фигуры стоят на тех же местах, но у белых теперь на один или два хода меньше, своими ходами королем они потеряли право на рокировку (если оно у них было).
Та же ситуация со взятием пешки на проходе...

-- Чт сен 07, 2017 10:22:49 --

kotenok gav в сообщении #1245785 писал(а):

Если королю обьявлен шах, то: или он уходит от шаха, или атакующую фигуру сбивает другая фигура, или короля заслоняет другая фигура; если же все это невозможно, то обьявляется мат.

Позвольте слегка дополнить...
1. Патовая позиция = ничья
2. Троекратное повторение позиции = ничья
3. Правило 50 ходов = ничья.
4. Рокировка невозможна, если король или соответствующая ладья уже ходили...

-- Чт сен 07, 2017 10:26:12 --

granit201z в сообщении #1245769 писал(а):

В "узлах" - композиции в "связях" - ходы

Причем сами позиции нужны только при расчете.
А так-то: в узлах - ходы, в связях - их последовательность...
По последовательности сделанных ходов можно восстановить конечную позицию, если это необходимо...

-- Чт сен 07, 2017 10:34:18 --

granit201z в сообщении #1245624 писал(а):

НУЖНО СЛОЖЕНИЕМ И ВЫЧИТАНИЕМ ДОБИТЬСЯ ШАХМАТНОЙ ИГРЫ

А кому и зачем зто нужно?!

[granit201z]

Цитата:

А кому и зачем зто нужно?!

Просто я хочу попытаться создать, так сказать, единую карту игры. Т.е. по задумке это сеть, которая визуализирует в себе все возможности игры от начальной позиции, до всех возможных ее конечных позиций. В принципе, такая сеть позволит ответить на вопрос, кто "изначально победитель" и есть ли он вообще, сколько "реальных" позиций в игре. В одиночку, пожалуй, создать эту сеть невозможно. Но возможно создать единый алгоритм хода, посредством математических формул, его зародыш в п. 18 в моем первом посте. Этот алгоритм может потом использоваться всеми, на удобных для них языках программирования, кто захочет внести свой вклад в эту "карту игры"

[mustitz]

Ну... как я понял, у вас бруттефорс. Вариантов слишком много...

Есть сайт, на котором решены шахматы 3x3 и 3x4. Ну а 4x4 оказались уже слишком сложными. Методы обкатаны, только никакого большого математического формализма не требуеться :)

[granit201z]

Цитата:

Ну... как я понял, у вас бруттефорс. Вариантов слишком много...

Ну не сказать, чтобы прям неограниченно много.

Если рассматривать карту игры, то максимально "реально" возможных узлов-позиций будет гораздо меньше чем $13^{64}$, а максимально "реально" возможных связей-ходов будет гораздо меньше чем $13^{64}\cdot13^{64}/2-13^{64}/2$

но на этой сети возможно будет построить гораздо больше шахматных партий (почти неограниченно, а именно все возможные варианты партий), за счет разных партий с "повторяющимися кусками". Поэтому полный перебор всех возможных партий для такого построения не нужен.

Чтобы было понятней, что я имею ввиду, сегодня-завтра я нарисую маленькую часть этой "сети игры" и скину на форум

[Лукомор]

granit201z в сообщении #1245845 писал(а):

Просто я хочу попытаться создать, так сказать, единую карту игры. Т.е. по задумке это сеть, которая визуализирует в себе все возможности игры от начальной позиции, до всех возможных ее конечных позиций.

Это всё замечательно, но не могли бы Вы продемонстрировать Вашу задумку на какой-нибудь игре попроще, например "крестики-нолики"?!
Там всего-то возможно $3^9$ различных позиций, и длина всей партии от 5 до 9 ходов максимум...