Задача про пластину в конденсаторе

[chapych]

Здравствуйте! Прошу помощи в решении следующей задачи из Савченко, номером 6.5.27.
В плоский конденсатор с размерами обкладок $ a \times a $ и расстоянием между ними $ d $ помещают так, как изображено на рисунке, проводящую пластинку толщины $c$ с размерами $a \times a$. Определите, какую силу нужно приложить к пластинке, чтобы удержать ее на месте, если: а) заряд обкладок равен $ \pm Q $ б) между обкладками поддерживается постоянная разность потенциалов $ V $.

Как не звучало бы нелепо, но стрелочка на рисунке в направлении права, навела меня на мысль, что сила электрического поля действует таким образом, что "вытягивает" пластину. Я думал, что найду изменение энергии системы конденсаторов, поделю на перемещение и найду силу, действующую на пластину, предполагая, что она постоянна.
Заряд всей обкладки $ Q $. Я исхожу из предположения, что поверхностная плотность постоянна, тогда на каждой половине обкладки заряд по $ Q/2 $ (по модулю). Тогда получаю систему из трех конденсаторов: 1. верхний правый. расстояние между обкладками $ (d-c)/2 $; 2. нижний правый, расстояние между обкладками $ (d-c)/2 $; левый с расстоянием $ d $. Нахожу начальную энергию:

$$ W_0= 2Q^2(d-c)/8\varepsilon_0a^2 + Q^2d/4\varepsilon_0a^2 = Q^2(2d-c)/4\varepsilon_0a^2$$

После "вытягивания" пластины из конденсатора:

$$ W=Q^2 d/2\varepsilon_0a^2 $$

Тогда

$$ A=W-W_0=Q^2c/2\varepsilon_0a^2 $$

$$ F= 2A/a = Q^2c/2\varepsilon_0a^2 $$

С ответом не совпало, прошу помощи, заранее спасибо!

[amon]

chapych в сообщении #1242389 писал(а):

Я думал, что найду изменение энергии системы конденсаторов, поделю на перемещение и найду силу

Идея правильная,подкачало исполнение. Формула $W=\frac{Q^2}{2C}$ правильная, но для одного конденсатора, для системы конденсаторов неплохо бы заменить их одним. И ещё, $\varepsilon_0$ пишется как

\varepsilon_0

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[EUgeneUS]

chapych

Ниже сказанное не отменяет ошибки, на которую указал уважаемый amon

chapych в сообщении #1242389 писал(а):

Я думал, что найду изменение энергии системы конденсаторов, поделю на перемещение и найду силу, действующую на пластину, предполагая, что она постоянна.

А если сила не постоянна? Тогда Вы обманетесь. А сила будет не постоянна, как минимум в одном из пунктов а) или б).
Чтобы не наступать на такие грабли, Ньютон с Лейбницем придумали дифференциальное исчисление.

[amon]

chapych,
Нарисуйте эквивалентную схему Вашей картинки. И да, строго говоря, сила (в Вашей задаче) - это производная энергии по координате пластинки.

[chapych]

amon в сообщении #1242560 писал(а):

chapych,
Нарисуйте эквивалентную схему Вашей картинки. И да, строго говоря, сила (в Вашей задаче) - это производная энергии по координате пластинки.

Я не понимаю, почему нельзя пользоваться этой формулой, я пробовал рассчитывать энергию конденсаторов через плотность энергии и результат совпал. Я нашел общую емкость системы: правый верхний и нижний соединены последовательно, а затем все параллельно левому в начальный момент. Емкость при смещении x вправо равна

$$ C(x)=\varepsilon_0a(ad-ac/2 - xc)/d(d-c) $$

Далее я воспользовался вновь формулой $W=\frac{Q^2}{2C}$ , где вместо заряда подставил Q(не могу обосновать, почему?), а заместо емкости емкость системы конденсаторов и взял первую производную по x, вышло:

$$ F= -2acQ^2d(d-c)/[4\varepsilon_0a^2(ad-ac/2-xc)^2] $$

По размерности подходит, но с ответом не совпадает. Подскажите, что понял неверно и почему $W=\frac{Q^2}{2C}$ не годится для одного конденсатора в рамках данной задачи? Заранее спасибо!

[amon]

chapych в сообщении #1242583 писал(а):

Я нашел общую емкость системы: правый верхний и нижний соединены последовательно, а затем все параллельно левому в начальный момент. Емкость при смещении x вправо равна

Схему нарисуйте, а то я ничего не понял, и попробуйте так:

Вложение:

C.png [ 12.87 Кб | Просмотров: 0 ]

Производную надо брать, естественно, по $x$ в точке $x=a/2$.

[chapych]

amon, все вышло, огромное спасибо, вот схема:

Ответ совпал, но я не понимаю, почему нельзя все таки рассчитывать энергию по частям, используя $ W=Q^2/2C $ ? И если бы заряд Q имели не обкладки конденсатора, а внесенная пластина, то мы бы все равно подставляли бы в $ W=Q^2/2C $ этот заряд Q?

-- 23.08.2017, 20:44 --

EUgeneUS
Спасибо и вам!

[amon]

chapych в сообщении #1242592 писал(а):

Ответ совпал, но я не понимаю, почему нельзя все таки рассчитывать энергию по частям

Можно, но с умом. Попробуйте решить такую задачку (она проще Вашей). На нарисованную Вами эквивалентную схему посадили заряд $Q$. Как этот заряд распределится по конденсаторам? Если решите - поймёте, где ошибка в первоначальном решении.

[chapych]

amon в сообщении #1242603 писал(а):

chapych в сообщении #1242592 писал(а):

Ответ совпал, но я не понимаю, почему нельзя все таки рассчитывать энергию по частям

Можно, но с умом. Попробуйте решить такую задачку (она проще Вашей). На нарисованную Вами эквивалентную схему посадили заряд $Q$. Как этот заряд распределится по конденсаторам? Если решите - поймёте, где ошибка в первоначальном решении.

Если принять, что поверхностная плотность обкладок постоянна, то заряды распределятся пропорционально площадям. Тогда по модулю $ Q_2=Q_1=Qx/a$ , а $Q_3= Q(a-x)/a$ . Верно?

[amon]

chapych в сообщении #1242618 писал(а):

то заряды распределятся пропорционально площадям

А аккуратно посчитать? Сравните разности потенциалов для отдельно стоящего конденсатора и параллельно включенной цепочки и воспользуйтесь тем, что в сумме заряды на, скажем, нижних обкладках равны $Q$.

[chapych]

amon в сообщении #1242624 писал(а):

chapych в сообщении #1242618 писал(а):

то заряды распределятся пропорционально площадям

А аккуратно посчитать? Сравните разности потенциалов для отдельно стоящего конденсатора и параллельно включенной цепочки и воспользуйтесь тем, что в сумме заряды на, скажем, нижних обкладках равны $Q$.

$U=q/C$ , тогда $ U_1=q_1d/\varepsilon_0(a-x)a $, $U_2=q_2(d-c)/2\varepsilon_0ax$, из условия параллельности $U_1=2U_2$ ,$q_2(a-x)(d-c)=q_1dx$, откуда, учитывая, что $q_1+q_2=Q$, $q_2= Qdx/ad-ac-xc$, а $q_1=Q(ad-ac+xc-dx)/ad-ac+xc$, верно?

-- 24.08.2017, 10:33 --

Скажите в формуле $W=Q^2/2C$, рассчитывая энергию для всей системы, чем обосновать подстановку заряда по модулю равному заряду обкладок? Возможно, это как в задачах на поиск общей емкости конденсаторов, когда мы рассчитываем по формуле $C_общ=q/U$, где q-сумма зарядов обкладок подключенных к клеммам источника, а U- напряжение источника, как в 5-ой задаче отсюда http://www.alsak.ru/item/l-r29-7.html ? Так и в моей задаче Q - это "наведенный" заряд?

[EUgeneUS]

chapych
Давайте забудем про геометрические размеры конденсаторов (вспомнить про них всегда успеем).

а) Систему конденсаторов зарядили зарядом $Q$, то есть заряд $+Q$ - на верхних пластинах, заряд $-Q$ - на нижних.
б) Соответственно, как-то зарядились отдельные конденсаторы.
Обозначим:

$C_1$ - ёмкость левого конденсатора.
$C_2$ - ёмкость верхнего правого конденсатора.
$C_3$ - ёмкость нижнего правого конденсатора.
$C_{23}$ - ёмкость последовательной цепочки правых конденсаторов.

Выразите через эти величины (ёмкости), как распределится заряд $Q$.
Получится красиво.

[chapych]

EUgeneUS в сообщении #1242687 писал(а):

chapych
Давайте забудем про геометрические размеры конденсаторов (вспомнить про них всегда успеем).

а) Систему конденсаторов зарядили зарядом $Q$, то есть заряд $+Q$ - на верхних пластинах, заряд $-Q$ - на нижних.
б) Соответственно, как-то зарядились отдельные конденсаторы.
Обозначим:

$C_1$ - ёмкость левого конденсатора.
$C_2$ - ёмкость верхнего правого конденсатора.
$C_3$ - ёмкость нижнего правого конденсатора.
$C_{23}$ - ёмкость последовательной цепочки правых конденсаторов.

Выразите через эти величины (ёмкости), как распределится заряд $Q$.
Получится красиво.

У меня вышло $q_1=QC_1/C_2_3+C_1$ и $q_2=q_3=QC_2_3/C_2_3+C_1$ . Верно?