2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение17.08.2017, 16:04 


08/09/13
190
Для простых $p$ при $3|(p-1)$ обозначим через ${t_3}(p)$ меньший кубический корень из единицы по модулю $p$ (кроме тривиального, единицы), то есть ${t_3}(p) = \min \left\lbrace{x \in {\mathbb N}, x>1\ :\ x^3 \equiv 1 \pmod p}\right\rbrace$.
Пусть $p_1, p_2, \dots$ - последовательность всех простых, для которых $3|(p_i - 1)$.
Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение11.09.2017, 06:18 


21/11/12
487
Цепная дробь $\dfrac{p}{x}$ имеет вид $a_n,a_{n-1},...,a_2,a_1+1,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n$ (или в обратном движении) - почти палиндром с четным количеством знаков, причем $a_n>1$. Соответствующие континуанты без первого и последнего знаков образуют кубические корни из $1$ и $-1$ и обе $<\dfrac{p}{2}$. Отсюда следует существование ровно одного $x<\dfrac{p}{2}$, сравнмого с единицей по $\mod p$. Дробь $a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n=\dfrac{k}{m}$ можно получить из представления $p=k^2+km+m^2\ (k>m)$. А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что $x>\sqrt[3]{p}$ и кажется $x<\dfrac{p-\sqrt[3]{p}}{2}$. Но судить не берусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение13.09.2017, 12:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1500
Andrey A в сообщении #1246907 писал(а):
А вот о равномерности распределения предположение сомнительно хотя бы потому, что ...

Проверка по всем $p<10^9$ позволяет практически не сомневаться в истинности этой гипотезы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение13.09.2017, 19:01 


21/11/12
487
Cash в сообщении #1247428 писал(а):
$p<10^9$

Ого. Мне казалось, что по краям интервала должно быть светлее. Но соглашусь, это иллюзия: любую дробь можно продолжить до палиндрома и, если результат - простое, брать в статистику. Трудно представить себе существование каких-то "специальных зон" пониженной/повышенной вероятности возникновения простого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение14.09.2017, 13:43 


21/11/12
487
$\dfrac{1}{\pi }\approx \dfrac{2}{7},\dfrac{227}{709},\dfrac{33120}{104047},\dfrac{504250}{1584139},\dfrac{24155430164}{75886521943},\dfrac{7789306864623}{24470829222457},...$

8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение03.11.2017, 14:53 


08/09/13
190
Я провёл ещё экспериметы и выяснил (пока, конечно, в виде очень навязчивой гипотезы), что для любого $k$ последовательность $\left({\frac{{g_n}^{\left(\frac{p_n-1}{k}\right)} \pmod {p_n}}{p_n}}\right)_{n=1}^{\infty}$ равномерно распределена на (0;1), где $g_n$ - минимальный первообразный корень по модулю $p_n$ ($p_n$ - простые, для которых $p_n \equiv 1 \pmod k$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Отношение кубического корня из единицы по модулю к модулю
Сообщение03.11.2017, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3558
fractalon в сообщении #1241315 писал(а):
Верно ли, что последовательность $\left({\frac{{t_3}(p_i)}{p_i}}\right)_{i=1}^{\infty}$ равномерно распределена на $(0;\frac{1}{2})$?
W. Duke, J.B. Friedlander, H. Iwaniec «Equidistribution of roots of a quadratic congruence to prime moduli»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group