Найти xyzt

[daogiauvang]

Найти все числа $\overline{xyzt}$, чтобы $\overline{xyzt}=(\overline{xy}+\overline{zt})^2$

[Aritaborian]

$2025$, $3025$, $9801$.

[Руст]

На самом деле несложно найти все решения для общего уравнения:

$$n=([n*10^{-k}]+n\% 10^k)^2.$$

[Geen]

Руст в сообщении #1237983 писал(а):

На самом деле несложно найти все решения для общего уравнения:

$$n=([n*10^{-k}]+n\% 10^k)^2.$$

Тогда уж просто $(a+b)^2=a q+b$ (все натуральные, $q>1$)?

[maxal]

См. A238237.

[rockclimber]

maxal в сообщении #1238207 писал(а):

См. A238237.

Каких только последовательностей не придумают!
А что, если еще немного обобщить, и вместо деления на две части и возведения в квадрат, делить на $N$ частей и возводить в степень $N$? Например:
$(5+1+2)^3 = 512$

[rockclimber]

Еще примеры для $N=3$:
$(1212+1388+2349)^3=121213882349$
$(1287+1113+2649)^3=128711132649$
$(1623+2457+1375)^3=162324571375$
$(1713+2377+1464)^3=171323771464$
$(3689+1035+2448)^3=368910352448$

Найдено перебором. Двух- и трехзначных чисел нет, что удивительно.

[maxal]

rockclimber, добавьте последовательность в OEIS

[Dmitriy40]

А почему не подходят эти?
$91125=45^3=(9+11+25)^3$
$26198073=297^3=(26+198+73)^3$
Т.е. понятно что из-за нулей, но ведь это кажется не оговаривалось? И в той же A238237 нули очень даже есть, начиная с $9801$ и далее во многих. Или не должно быть лишь левых нулей - чтобы длины частей совпадали?
Про OEIS мысль мне нравится.

[rockclimber]

Dmitriy40
Просто алгоритм такой был - я брал только 6, 9, 12-значные числа и так далее. Про левые нули - не знаю даже. У меня нет особых предпочтений.
Интересный результат был с 15-значными числами: таких чисел было всего три, и два из них - это $55556^3$ и $77778^3$.

[Dmitriy40]

Да, всего три:
$171471879319616=55556^3$
$220721185826504=60434^3$
$470511577514952=77778^3$
Добавлю ещё разных результатов.

($N^3<10^{18}$)

$105705061351305767=472823^3$
$109294197946170875=478115^3$
$116367227503144344=488214^3$
$120706126590246912=494208^3$
$121440334856038912=495208^3$
$138249363851014976=517076^3$
$151564368606013000=533170^3$
$160769107975275008=543752^3$
$175471156639227736=559846^3$
$180493358291026353=565137^3$
$214714120150263943=598807^3$
$293736149984221021=664741^3$
$300806096458272768=670032^3$
$373682068958277639=720279^3$
$435235164725157875=757835^3$
$495862183018112625=791505^3$
$526727149679131192=807598^3$
$561873028927234375=825175^3$
$570684092086166696=829466^3$
$627534213320015288=856142^3$
$902350034690029289=966329^3$
$922085001971049267=973323^3$

($N^4<2^{128}$)

$20151121=67^4=(20+15+11+21)^4$
$17925440300173701376=65068^4=(17925+44030+1737+1376)^4$
$129378094625105339270401=599743^4$
$150078130395081125260816=622414^4$
$155943336115129054007296=628408^4$
$175626000494277306193936=647362^4$
$180730041458379202050625=652015^4$
$203529043026143035282081=671671^4$
$211004112934353192000625=677755^4$
$247498110530114582232721=705331^4$
$286117102194115281227776=731368^4$
$291735063830077991301376=734932^4$
$344216089001250585082161=765963^4$
$416896108155199047079441=803539^4$
$453473020676298527047936=820612^4$
$466868113631102411143696=826606^4$
$520828128408040284160000=849520^4$
$761220115590026520030736=934066^4$
$11780702219802231731003707514896=58585858^4$
$14439715129046200264868531650816=61643836^4$
$36442630072556942449817409500176=77696674^4$
$432905259131466615113518762133253841=811144477^4$

($N^5<2^{128}$)

$28430288029929701376=7776^5=(2843+288+299+2970+1376)^5$
$130377260305079059111219084375=665335^5$
$165206120951064038339435007968=697598^5$
$210661190534180357124288026507=732347^5$
$25482451314582286738507773980100000=7607610^5$

Для 6, 7, 8, 9 степени подходящих чисел до $2^{128}$ не обнаружено вообще.

Интересные результаты для куба:
$171467712620032578875=5555555^3$
$171467805212623319616=5555556^3$
$170717891744681120955851=55474451^3$
$170717900976925428633408=55474452^3$

[Dmitriy40]

Ещё и здесь забавная перестановка цифр:
$376792920320288231345048=72227222^3$
$384514510655817327707648=72717272^3$
$384673150653644527723511=72727271^3$
$470326072320873707526433=77767777^3$
$470507512318244907544576=77777776^3$

[rockclimber]

Для $N=4$ тоже есть интересные варианты:
$671671^4, 677755^4, 58585858^4$

[Geen]

Да лучше бы систему счисления поменять

[Dmitriy40]

Нашлись решения для 6-й степени:
$143203377010334242291877451683210741840703595241710423265625=7233117885^6$
$185678422910258037481261180839192976669603306409881148952576=7553129076^6$