Найти xyzt

[Dmitriy40]

Выложу пожалуй все найденные решения, для степеней от 2 до 10:

Используется синтаксис Text

8^3=5 1 2
9^2=8 1
45^2=20 25
55^2=30 25
67^4=20 15 11 21
99^2=98 01
703^2=494 209
999^2=998 001
4949^3=1212 1388 2349
4950^2=2450 2500
5049^3=1287 1113 2649
5050^2=2550 2500
5455^3=1623 2457 1375
5554^3=1713 2377 1464
7172^3=3689 1035 2448
7272^2=5288 1984
7776^5=2843 0288 0299 2970 1376
7777^2=6048 1729
9999^2=9998 0001
55556^3=17147 18793 19616
60434^3=22072 11858 26504
65068^4=17925 44030 01737 01376
77778^2=60494 17284
77778^3=47051 15775 14952
82656^2=68320 14336
95121^2=90480 04641
99999^2=99998 00001
318682^2=101558 217124
329967^2=108878 221089
351352^2=123448 227904
356643^2=127194 229449
390313^2=152344 237969
461539^2=213018 248521
466830^2=217930 248900
472823^3=105705 061351 305767
478115^3=109294 197946 170875
488214^3=116367 227503 144344
494208^3=120706 126590 246912
495208^3=121440 334856 038912
499500^2=249500 250000
500500^2=250500 250000
517076^3=138249 363851 014976
533170^2=284270 248900
533170^3=151564 368606 013000
538461^2=289940 248521
543752^3=160769 107975 275008
559846^3=175471 156639 227736
565137^3=180493 358291 026353
598807^3=214714 120150 263943
599743^4=129378 094625 105339 270401
609687^2=371718 237969
622414^4=150078 130395 081125 260816
628408^4=155943 336115 129054 007296
643357^2=413908 229449
647362^4=175626 000494 277306 193936
648648^2=420744 227904
652015^4=180730 041458 379202 050625
664741^3=293736 149984 221021
665335^5=130377 260305 079059 111219 084375
670032^3=300806 096458 272768
670033^2=448944 221089
671671^4=203529 043026 143035 282081
677755^4=211004 112934 353192 000625
681318^2=464194 217124
697598^5=165206 120951 064038 339435 007968
705331^4=247498 110530 114582 232721
720279^3=373682 068958 277639
731368^4=286117 102194 115281 227776
732347^5=210661 190534 180357 124288 026507
734932^4=291735 063830 077991 301376
757835^3=435235 164725 157875
765963^4=344216 089001 250585 082161
791505^2=626480 165025
791505^3=495862 183018 112625
803539^4=416896 108155 199047 079441
807598^3=526727 149679 131192
812890^2=660790 152100
818181^2=669420 148761
820612^4=453473 020676 298527 047936
825175^3=561873 028927 234375
826606^4=466868 113631 102411 143696
829466^3=570684 092086 166696
849520^4=520828 128408 040284 160000
851851^2=725650 126201
856142^3=627534 213320 015288
857143^2=734694 122449
934066^4=761220 115590 026520 030736
961038^2=923594 037444
966329^3=902350 034690 029289
973323^3=922085 001971 049267
994708^2=989444 005264
999999^2=999998 000001
4444444^2=1975308 2469136
4927940^3=1196730 1547210 2184000
4927941^2=2428460 2499481
5072058^3=1304826 0948120 2819112
5072059^2=2572578 2499481
5555555^3=1714677 1262003 2578875
5555556^2=3086420 2469136
5555556^3=1714678 0521262 3319616
5699673^3=1851611 2913845 0934217
6183170^3=2363924 2806246 1013000
7607610^5=2548245 1314582 2867385 0777398 0100000
8888887^3=7023315 1385469 0480103
9372385^2=8784160 0588225
9999999^2=9999998 0000001
36363636^2=13223140 23140496
38883889^2=15119568 23764321
44363341^2=19681060 24682281
44525548^2=19825244 24700304
47045800^3=10412681 24633119 12000000
49842793^3=12382465 07209071 30251257
49995000^2=24995000 25000000
50005000^2=25005000 25000000
50657256^3=12999450 17424590 20233216
55474451^3=17071789 17446811 20955851
55474452^2=30774148 24700304
55474452^3=17071790 09769254 28633408
55484452^3=17081024 00650020 37753408
55636659^2=30954378 24682281
56136708^3=17690529 11839267 26606912
58156911^3=19669983 37400897 01086031
58585858^4=11780702 21980223 17310037 07514896
58656961^3=20181743 19643537 18831681
60453854^3=22093879 37080111 01279864
61116111^2=37351790 23764321
61453954^3=23208629 36350661 01894664
61643836^4=14439715 12904620 02648685 31650816
63136413^5=10032277 17216781 10665277 00048785 25173293
63636364^2=40495868 23140496
63636364^3=25770098 11269722 26596544
63798570^3=25967661 02037909 35793000
64298620^3=26583059 05787561 31928000
66595563^5=13098648 07597911 06038108 08546853 31314043
66747770^3=29737899 01576871 35433000
68167738^5=14719546 01438341 15404444 22034239 14571168
68807564^5=15423428 11895090 17668437 00478785 23341824
69115816^2=47769960 21345856
69188525^5=15855150 20982388 02253946 18768916 11328125
69278022^3=33249601 00361773 35666648
69768072^3=33960194 19498630 16309248
69778072^3=33974799 03974025 31829248
70667477^5=17623734 07600881 19155899 00885806 25401157
72197730^5=19616328 00384703 31575589 11321110 09300000
72227222^3=37679292 03202882 31345048
72717272^3=38451451 06558173 27707648
72727271^3=38467315 06536445 27723511
73197730^5=21013000 21062123 11580997 10241610 09300000
74145807^5=22409542 06677815 17654156 21858487 05545807
74747475^2=55871850 18875625
74747475^3=41762797 25187803 07796875
74909681^3=42035270 15806170 17068241
74909681^5=23587925 00079172 19777658 01972525 29492401
75247525^2=56621900 18625625
75277016^5=24171966 07690635 20966173 14039666 08408576
75409731^3=42882705 22962135 09564891
76836761^5=26782138 15289811 00029923 13415088 21319801
77696674^4=36442630 07255694 24498174 09500176
77706674^3=46921832 20034818 10750024
77767777^3=47032607 23208737 07526433
77777776^3=47050751 23182449 07544576
80226927^2=64363598 15863329
80726976^3=52608516 19876284 08242176
80726977^2=65168448 15558529
80726977^3=52608518 15381626 12736833
80889183^3=52926277 17671419 10291487
83409436^2=69571340 13838096
83779299^5=41274670 12741290 18997026 06769814 03996499
86358636^2=74578140 11780496
86368635^5=48059614 13178003 18653235 02080908 04396875
88878888^3=70209493 01546323 17123072
88888888^2=79012344 09876544
88888888^3=70233194 05212622 13443072
91838088^2=84342344 07495744
93868290^3=82709752 10369538 00789000
94520547^2=89341338 05179209
99999999^2=99999998 00000001
332999667^2=110888778 222110889
432432432^2=186997808 245434624
567567568^2=322132944 245434624
665999333^5=131029466 007569909 137779753 249908312 139711893
667000332^3=296741406 109664558 260594368
667000333^2=444889444 222110889
765432098^3=448456177 233250729 083725192
765432099^2=585886298 179545801
811144477^4=432905259 131466615 113518762 133253841
999999999^2=999999998 000000001
3846956652^2=1479907548 2367049104
3888938889^2=1512384568 2376554321
4090859091^2=1673512810 2417346281
4132841328^2=1708037744 2424803584
4756047560^3=1075817406 0367014154 3313216000
4756047561^2=2261998840 2494048721
4798029798^2=2302108994 2495920804
4798029798^3=1104558755 2653353451 1040117592
4958067762^3=1218813831 0877359203 2861894728
4958067763^2=2458243594 2499824169
4999950000^2=2499950000 2500000000
5000050000^2=2500050000 2500000000
5041932236^3=1281713661 1621058319 2139160256
5041932237^2=2542108068 2499824169
5201970202^2=2706049398 2495920804
5243952438^3=1442036430 2079424336 1722491672
5243952439^2=2749903718 2494048721
5243952439^3=1442036431 0329135489 3472780519
5445872641^3=1615111248 1135690672 2695070721
5487854878^3=1652752622 0285458104 3549644152
5623256232^3=1778130452 0383806612 3461319168
5707120706^3=1858879226 2103385664 1744855816
5867158672^2=3442355088 2424803584
5867158672^4=1184980855 3548894735 0154038026 0979245056
5867258671^3=2019787622 1885825338 1961645711
5909040908^3=2063245895 2433501701 1412293312
5909140908^3=2063350647 3094296949 0751493312
5909140909^2=3491794628 2417346281
5909140909^3=2063350648 3569680832 0276109429
5983645042^4=1281926988 0513976423 0421589935 3766151696
6078539214^4=1365201922 1888169822 1562229854 1262937616
6111061110^3=2282179920 3383250190 0445631000
6111061111^2=3734506790 2376554321
6111161110^3=2282291957 3753238153 0075631000
6153043348^2=3785994244 2367049104
6153043348^3=2329538670 0066944486 3756560192
6313081312^5=1002782890 0495166200 0987964556 0434534834 3392632832
6355063549^3=2566608884 2650196516 1138258149
6574329378^3=2841543940 2110267286 1622518152
6628648104^4=1930633584 3931442212 0650098452 0116473856
6776249580^3=3111488356 2238849224 1425912000
6891329160^4=2255339763 0118523386 1926106011 2591360000
6910569106^4=2280632228 3061814866 0873458316 0694663696
7020252019^3=3459856681 2899472479 0660922859
7070707071^3=3534992822 2396395338 1139318911
7222172221^3=3767068534 2944353826 0510749861
7233117885^6=1432033770 1033424229 1877451683 2107418407 0359524171 0423265625
7237054188^5=1985222196 1240627640 1258923262 0672273922 2080007168
7264154458^3=3833144665 1551969881 1879039912
7326458470^4=2881219654 0262295055 4050133761 0132810000
7356491747^3=3981184057 2878217967 0497089723
7439074390^5=2278213957 0618060105 0159216214 0263684114 4119900000
7512078508^4=3184494273 1304020755 1482791384 1540772096
7553129076^6=1856784229 1025803748 1261180839 1929766696 0330640988 1148952576
7558511949^3=4318261238 0203247362 3037003349
7643458252^3=4465495885 1107463359 2070499008
7685440489^3=4539481934 1534308386 1611650169
7777777778^3=4705075446 2194787380 0877914952
7777877777^3=4705256928 2194524416 0878096433
7902242657^5=3081426463 0391000879 1531799086 2430311172 0467705057
7979797980^2=6367717580 1612080400
8002440271^4=4100999962 1633079765 0767420063 1500940481
8021680217^3=5161738926 1781162978 1078778313
8163985027^4=4442309348 1844691421 0859432817 1017551441
8173245367^3=5459886452 1551513052 1161845863
8223700419^2=6762924858 1460775561
8273567941^4=4685666238 0488572851 0712299491 2387029361
8439002572^4=5071827533 0611505143 2608316040 0147353856
8669623060^3=6516293642 0004713418 2148616000
8888888889^2=7901234568 0987654321
8888888889^3=7023319616 1755829904 0109739369
9090909091^2=8264462810 0826446281
9132791328^2=8340787744 0792003584
9174773564^3=7723000512 1427742908 0024030144
9334811530^2=8713870630 0620940900
9512095121^3=8606539251 0080099309 0825456561
9512195120^3=8606810691 0079656429 0825728000
9755997560^3=9285708565 0197072995 0273216000
9756097560^2=9518143960 0237953600
9839962034^3=9527528758 0036177972 0276255304
9999999999^2=9999999998 0000000001

Степеней 7-10 не обнаружено, проверены числа в основании степени до $10^{11}$.

[Dmitriy40]

Нашлась минимальная 7-я степень:
$727073400439^7$ $=$ $107410761519 304919088372 060893184117 116709055950 081214460017 036782872985 019143977479$

[Dmitriy40]

Досчиталось до $10^{12}$. Восьмой и выше степеней так и не обнаружено. Все найденные одним списком: https://cloud.mail.ru/public/3Gjd/5wkWJz8Cr

Geen в сообщении #1238475 писал(а):

Да лучше бы систему счисления поменять

Сделано! На произвольную менять не стал (лень в ассемблерном коде добавлять ещё один цикл с замедлением счёта на порядок), ограничился самой распространённой двоичной (т.к. в ней тривиальны деления на степени 2) до $2^{40}\approx 10^{12}$: https://cloud.mail.ru/public/MN1h/vh9P7Qt3c

(Из интересных наблюдений. Фактически нумерология.)

Много чисел дают решения в разных степенях, причём не только последовательных, например встретились даже комбинации $(x^2, x^6), (x^3, x^5), (x^4, x^7), (x^5, x^7)$.
Два числа в десятичной системе $577407240774, 749749749750$ и два в двоичной $\mathrm{0xDE7F742A3, 0xE0B0A4A1A0}$ дают сразу по три решения, в степенях $x^2, x^3, x^4$.
Сильная неоднородность количества решений в зависимости от длины чисел (например всего 8 решений длины 11 десятичных цифр и 81 до и 691 решения после). Подозреваю для нечётных длин количество решений меньше в разы.
В двоичной системе в диапазонах 37, 31, 23, 19, 17, 13, 11, 7..2 битов решение вообще одно "стандартное" из одних единиц $2^n-1$ - длина числа подозрительно похожа на ряд простых начиная с 7, с одним исключением - для 29-й степени одно "лишнее" решение таки найдено. Возможно тут не нумерология, а какие-то специальные числа.
Есть решения из одинаковых цифр: $7777^2, 4444444^2, 5555555^3, 88888888^2, 88888888^3, 55555555555^2$, $\mathrm{0xDDDDDDD^2, 0xCCCCCCCC^2, 0xCCCCCCCC^3}$.