Разложение волновой функции - 2

[rank_xyz]

Alex-Yu в сообщении #1237645 писал(а):

edge в сообщении #1237533 писал(а):

Можно ли разложить волновую функцию свободной частицы в ряд по оператору координаты?

Можно. Да Вы и написали такое разложение.

-- Ср авг 02, 2017 16:08:02 --

edge в сообщении #1237533 писал(а):

Не будет ли это противоречить принципу неопределенности,

Нет. У Вас же и получилось, что $C \ne 0$ для самых разных $r_n$. Это и значит, что при определенном импульсе (была взята такая исходная функция) координата полностью неопределенна: $|C|^2 \ne 0$ для ВСЕХ $r_n$, и более того, все значения координаты равновероятны, ибо все $|C(r_n)|^2$ (для любого $r_n$) равны между собой.

согласно Квантовой механике Ландау и Лифшица, если волновая функция раскладывается на собственные функции физической величины, например, импульса, то вероятность при измерении импульса в состоянии, описываемом волновой функцией \Psi_n, получить значение p_n (собственное значение импульса в состоянии \Psi_n) равно 1
далее, если \Psi_n раскладывается на собственные функции координаты, то, согласно все той же Квантовой механике, вероятность получить при измерении координаты в состоянии, описываемом волновой функцией \Psi_n _m, значение r_m (собственное значение координаты в состоянии \Psi_n _m), тоже должно быть равно 1
Получается, что при измерении импульса и координаты в состоянии, описываемом волновой функцией \Psi_n _m, вероятность получить собственные значения p_n и r_m, равна 1
Как же так, разве можно при измерении импульса и координаты получить определенные значения этих физических величин? Получается, что после разложения можно, хотя это и противоречит принципу неопределенности ...

[svv]

$\Psi_n$ — собственная функция оператора импульса. Эту функцию Вы раскладываете по собственным функциям $\Phi_{m}$ какого-то другого оператора. Почему $\Phi_{m}$ будут собственными функциями оператора импульса?

[rank_xyz]

svv в сообщении #1237763 писал(а):

$\Psi_n$ — собственная функция оператора импульса. Эту функцию Вы раскладываете по собственным функциям $\Psi_{nm}$ какого-то другого оператора. Почему $\Psi_{nm}$ будут собственными функциями оператора импульса?

автор темы полагает, что собственную функцию оператора импульса можно разложить на собственные функции оператора координаты, несмотря на то, что операторы координаты и импульса некоммутативны
да, $\Psi_n$ - это собственная функция оператора импульса с собственным значением импульса p_n
$\Psi_{nm}$ - это то, что получилось после разложения
так как разложение не должно менять свойства исходной волновой функции, то по идее, $\Psi_{nm}$ должна оставаться собственной функцией оператора импульса

[svv]

Давайте запишем символически:
$\Psi_n=\sum c_{nm}\Phi_m$
Здесь $\Psi_n$ — собственная функция оператора импульса, $\Phi_m$ — собственные функции какого-то другого оператора $\hat L$.

rank_xyz в сообщении #1237767 писал(а):

$\Psi_{nm}$ - это то, что получилось после разложения
так как разложение не должно менять свойства исходной волновой функции, то по идее, $\Psi_{nm}$ должна оставаться собственной функцией оператора импульса

Что Вы имеете в виду? Сумма в правой части равна исходной функции, и в этом смысле разложение не изменило свойств. Но вся сумма не обязана быть собственной функцией $\hat L$.

А каждое слагаемое $\Phi_m$ в отдельности — является собственной функцией $\hat L$, но не обязано быть собственной ф-цией оператора $\hat p$.

[rank_xyz]

svv в сообщении #1237770 писал(а):

Давайте запишем символически:
$\Psi_n=\sum c_{nm}\Phi_m$

rank_xyz в сообщении #1237767 писал(а):

$\Psi_{nm}$ - это то, что получилось после разложения

Что Вы имеете в виду? Сумма в правой части равна исходной функции, и в этом смысле разложение не изменило свойств. Но вся сумма не обязана быть собственной для какого-то другого оператора $\hat L$.

А каждое слагаемое $\Phi_m$ в отдельности — является собственной функцией для $\hat L$, но не обязано быть собственной ф-цией для оператора $\hat p$.

$\Phi_m$ вполне может и не являться собственной функцией оператора $\hat p$
но тогда после разложения теряется информация об импульсе
вполне возможно, информация об импульсе находится тут: c_{nm}
и автор темы нам подсказывает, что это так: c_{nm}=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\operatorname{p_nr_m}-Et)}$, т.е. c_{nm} и есть собственная функция $\hat p$

[svv]

Вы используете систему таких функций, которые являются собственными сразу для двух некоммутирующих операторов, и эта система полная. Хорошая, удобная система. А существует ли она?

[rank_xyz]

svv в сообщении #1237776 писал(а):

Вы используете систему таких функций, которые являются собственными сразу для двух операторов, и эта система полная. А существует ли она?

в том то и дело, что данную систему использует автор темы
и задается тем же вопросом
изначально автор темы спрашивает, можно ли разложить волновую функцию свободной частицы на собственные функции оператора координаты
волновая функция свободной частицы, в свою очередь, является собственной функцией оператора импульса, и раскладывать ее еще и на собственные функции оператора координаты некорректно, так как операторы импульса и координаты некоммутативны
но не все с этим согласны, походу

[Alex-Yu]

rank_xyz в сообщении #1237761 писал(а):

Получается, что после разложения можно,

Это что еще за бред??? Горячечный.

[rank_xyz]

Alex-Yu в сообщении #1237784 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237761 писал(а):

Получается, что после разложения можно,

Это что еще за бред??? Горячечный.

а как еще интерпретировать разложение собственной функции оператора $\hat p$ на собственные функции оператора $\hat r$?

[Alex-Yu]

rank_xyz в сообщении #1237788 писал(а):

а как еще интерпретировать разложение собственной функции оператора $\hat p$ на собственные функции оператора $\hat r$?

Как другое представление ТОГО ЖЕ САМОГО квантового состояния. Не меняющее, естественно, НИКАКОЙ физики.

Кстати, никакого разложения "НА СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ" не бывает. Бывает разложение по собственным функциям.

[edge]

svv в сообщении #1237776 писал(а):

Вы используете систему таких функций, которые являются собственными сразу для двух некоммутирующих операторов, и эта система полная. Хорошая, удобная система. А существует ли она?

разложение волновой функции вроде как выполняется только по собственным функциям оператора координат, а не по собственным функциям сразу двух некоммутирующих операторов...вы считаете подобное разложение неправомерным?

[svv]

edge

rank_xyz в сообщении #1237767 писал(а):

так как разложение не должно менять свойства исходной волновой функции, то по идее, $\Psi_{nm}$ должна оставаться собственной функцией оператора импульса

rank_xyz
Предположите, что $\psi$ является собственной функцией некоторых операторов $\hat A$ и $\hat B$, соответствующей известным собственным значениям, обозначим их $\lambda$ и $\mu$. Вычислите $(\hat A\hat B-\hat B\hat A)\psi$.
С другой стороны, вспомните, чему равен коммутатор операторов координаты и импульса.

[rank_xyz]

Alex-Yu в сообщении #1237791 писал(а):

rank_xyz в сообщении #1237788 писал(а):

а как еще интерпретировать разложение собственной функции оператора $\hat p$ на собственные функции оператора $\hat r$?

Как другое представление ТОГО ЖЕ САМОГО квантового состояния. Не меняющее, естественно, НИКАКОЙ физики.

Кстати, никакого разложения "НА СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ" не бывает. Бывает разложение по собственным функциям.

судя по тому, что пишет автор темы, речь идет именно о разложении собственной функции оператора импульса ПО собственным функциям оператора координаты
т.е. идет речь о произведении двух операторов, причем именно двух некоммутативных операторов

[edge]

svv, вы под $\Psi_n_m$ понимаете коэффициент разложения $C_n_m$? так он и остается собственной функцией оператора импульса по сути, а в частности конкретное число...
а состояние описывается собственной функцией оператора координат...$C_n_m$ - амплитуда вероятности данного состояния

[svv]

Нет, не коэффициент.
Я вот тут пытался ввести свои обозначения. Мне показалось, что функции $\Psi_{nm}$ — это мои $\Phi_m$. Они являются собственными функциями оператора координаты, в то же время каким-то образом наследуют, как считает rank_xyz, от функции $\Psi_n$ свойство быть собственной для оператора импульса.