Последовательности... тока не ржать))

[Mr.Cherry]

Вообщем, вот задания.. как решать - не представляю.. просто не могу найти нужной инфы и примеров... похожие решал, а кокретно в этих номерах - не знаю с какого края подойти..
Применив теорему о пределе монотонной поседовательности, доказать, что существуют конченые или бесконченые пределы данных последовательностей:
а) $x_n = \frac {1} {(4*7)} + \frac {1} {(7*10)} + ... + \frac {1} {(3n+1)*(3n+4)}.$
б) $x_1 = \frac 1 2,$ $x_{n+1} = \frac {1} {(2-x_n)}.$

Найти $\varliminf_{x\to\infty}x_n$ и $\varlimsup_{x\to\infty}x_n$ последовательности:
$x_n = \frac {n} {(n+1)}\sin^2{(\frac{\pi n}{4})}$

[AD]

Mr.Cherry писал(а):

Применив теорему о пределе монотонной поседовательности, ...

Формулировку знаете?

На самом деле в задачах а и б достаточно заметить, что последовательности монотонные. В первой это вообще до безобразия очевидно.

Mr.Cherry писал(а):

Найти $\varliminf_{x\to\infty}x_n$ и $\varlimsup_{x\to\infty}x_n$ последовательности:

Что-что-что стремится к бесконечности?

Знаете, вы посчитайте квадрат синуса в явном виде - чему он равен при $n$, дающих разные остатки при делении на четыре (ведь $\sin^2x$ - функция $\pi$-периодическая), и будет гораздо проще соображать. Нужно найти в указанной последовательности подпоследовательность, имеющую наименьший предел или, соответственно, наибольший.

[Mr.Cherry]

Цитата:

На самом деле в задачах а и б достаточно заметить, что последовательности монотонные. В первой это вообще до безобразия очевидно.

Ну в а) легко монотонность доказать, но вот что дальше.. от чего предел искать..
В б) вся сложность в том, что неизвестно как там доказывать монотонность. Тут либо выделять общий член и сравнивать со следующем(а как это в данном случае сделать - не знаю), либо применить мат. индукцию, но я что-то не понял как её применять..

Цитата:

Что-что-что стремится к бесконечности?

ачепятка n стремится..

Цитата:

Знаете, вы посчитайте квадрат синуса в явном виде - чему он равен при , дающих разные остатки при делении на четыре (ведь - функция -периодическая), и будет гораздо проще соображать. Нужно найти в указанной последовательности подпоследовательность, имеющую наименьший предел или, соответственно, наибольший.

ну допустим есть 4 варианта:
n = 4k, n = 4k +1, n = 4k +2, n = 4k +3.
явно вывести значения синуса и написать подпоследовательность?
а как дальше найти пределы?

[Brukvalub]

В первом пункте используйте представление:

\[ \frac{1}{{(3n + 1)(3n + 4)}} = \frac{1}{3}(\frac{1}{{(3n + 1)}} - \frac{1}{{(3n + 4)}}) \]

Во втором пункте докажите, что

\[x_n < 2\]

, после чего исследуйте знак разности

\[ x_{n + 1} - x_n \]

Добавлено спустя 20 минут 35 секунд:

Mr.Cherry писал(а):

ну допустим есть 4 варианта:
n = 4k, n = 4k +1, n = 4k +2, n = 4k +3.
явно вывести значения синуса и написать подпоследовательность?
а как дальше найти пределы?

Для начала, выпишите явно формулы, задающие члены подпоследовательностей с такими номерами.

[AD]

Mr.Cherry писал(а):

Ну в а) легко монотонность доказать, но вот что дальше.. от чего предел искать..

В смысле от чего? От $x_n$ при $n\to\infty$. Замечу, что, несмотря на совершенно правомерные призывы Brukvalubа, искать пределы в этой задаче, судя по всему, не нужно. Достаточно доказать их существование. Поэтому повторюсь:

AD писал(а):

Mr.Cherry писал(а):

Применив теорему о пределе монотонной поседовательности, ...

Формулировку знаете?

Хотя бы.

Mr.Cherry писал(а):

ну допустим есть 4 варианта:
n = 4k, n = 4k +1, n = 4k +2, n = 4k +3.
явно вывести значения синуса и написать подпоследовательность?
а как дальше найти пределы?

Ну да, нужно понять, как выглядит наша последовательность, и разыскать в ней самые "крайние" подпоследовательности. Поскольку каждому из четырех случаев соответствует сходящаяся подпоследовательность, то выбор невелик. Более того, ясно, что множитель $\frac n{n+1}$ вообще ни на что не влияет.

P.S.

Mr.Cherry писал(а):

... и написать подпоследовательность?

Ну можете написать последовательность ... как известно, в этом нет ничего трудного: чтобы сделать это за конечное время, достаточно каждый следующий член последовательности выписывать в два раза быстрее предыдущего

[Mr.Cherry]

Цитата:

Во втором пункте докажите, что , после чего исследуйте знак разности

как? $x_n$ не дан, но вообще он будет равен $x_n = \frac n {n+1}$, только я не знаю как его выделить..

Цитата:

Формулировку знаете?

как сказать..
Всякая возрастающая (убывающая) последовательность имеет предел, конечный, если она ограничена сверху(снизу) и бесконечный, равный +\infty (-\infty), если она неограничена свреху(снизу).
Эта?

Цитата:

Ну да, нужно понять, как выглядит наша последовательность, и разыскать в ней самые "крайние" подпоследовательности. Поскольку каждому из четырех случаев соответствует сходящаяся подпоследовательность, то выбор невелик. Более того, ясно, что множитель вообще ни на что не влияет.

так, сейчас попробую..

[Henrylee]

Mr.Cherry писал(а):

Цитата:

Во втором пункте докажите, что , после чего исследуйте знак разности

как?

По индукции. Можно доказать, что $x_n<1$.

Mr.Cherry писал(а):

$x_n$ не дан, но вообще он будет равен $x_n = \frac n {n+1}$, только я не знаю как его выделить..

Его и не надо выделять. Пользуйтесь рекурсивным представлением и доказанной ограниченностью. Так и докажете монотонность. Если потом нужно найти предел, то для этого достаточно опять же рекурсивного равенства и доказанного факта о существовании конечного предела.

[Mr.Cherry]

ой.. помилуйте.. если бы я всё знал - я бы здесь не писал..

Цитата:

Пользуйтесь рекурсивным представлением и доказанной ограниченностью. Так и докажете монотонность. Если потом нужно найти предел, то для этого достаточно опять же рекурсивного равенства и доказанного факта о существовании конечного предела.

Как?
Дайте пожалста пример или ссылку на пример или скажите в какой книге разобран подобный пример..
Ну выписал я первые 12 членов последовательности(по указанию преподавателя..), на всех видно, что последовательность возрастающая, но как это доказать для всех $x_n$, $x_{n+1}$?? я не видел ни одного объяснения как это делать и ни разу не делал..

Цитата:

В смысле от чего? От при . Замечу, что, несмотря на совершенно правомерные призывы Brukvalubа, искать пределы в этой задаче, судя по всему, не нужно. Достаточно доказать их существование. Поэтому повторюсь:

т.е. от того, что последовательность задана в виде суммы - ничего не зависит? также доказывать стремление к бесконечности?

Цитата:

Во втором пункте докажите, что , после чего исследуйте знак разности

там оно будет вообще меньше 1, но к ней будет стремиться.. как мне искать $x_{n+1}-x_n$, если я не располагаю x_n?

если не трудно - напишите ссылку на статью или скажите книгу, где можно увидеть разбор подобных номер, ибо я не могу их решать, никогда с такими не сталкивался...

[Henrylee]

Mr.Cherry писал(а):

ой.. помилуйте.. если бы я всё знал - я бы здесь не писал..

Цитата:

Пользуйтесь рекурсивным представлением и доказанной ограниченностью. Так и докажете монотонность. Если потом нужно найти предел, то для этого достаточно опять же рекурсивного равенства и доказанного факта о существовании конечного предела.

Как?
Дайте пожалста пример или ссылку на пример или скажите в какой книге разобран подобный пример..

Ну выписал я первые 12 членов последовательности(по указанию преподавателя..), на всех видно, что последовательность возрастающая, но как это доказать для всех $x_n$, $x_{n+1}$?? я не видел ни одного объяснения как это делать и ни разу не делал..

1.Еще раз, по индукции доказываем, что $x_n<1$: По условию $x_1=\frac12<1$. Предположим, что $x_n<1$. Тогда что можно сказать про $x_{n+1}$?
2.Монотонность.

$$ x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2-x_n}-x_n=.. $$

[Mr.Cherry]

Цитата:

Еще раз, по индукции доказываем, что : По условию . Предположим, что . Тогда

поподробнее пожалуйста, я никогда не использовал индукцию.. почитал про неё на википедии и что то не понял как её здесь применять..

Цитата:

Монотонность.

понятно, теперь нужно доказать, что хотя бы $x_n < 2$ и монотонность будет доказана..

[Henrylee]

Mr.Cherry писал(а):

Цитата:

Еще раз, по индукции доказываем, что : По условию . Предположим, что . Тогда

поподробнее пожалуйста, я никогда не использовал индукцию.. почитал про неё на википедии и что то не понял как её здесь применять..

Так я уже почти все написал выше. $x_1<1$ - это дано. Теперь предполагаем, что какой-то $x_n<1$ (как минимум один такой есть - это $x_1$). Исходя из этого доказываем, что $x_{n+1}<1$ (докажите это сами, используя то, что $x_{n+1}=\frac1{2-x_n}$). Таким образом Вы докажете что для любого $n$ $x_n<1$. Понятно?

[Mr.Cherry]

понятно, сейчас попробую..

[Mr.Cherry]

с первым а) так и не разобрался.. как там делать?
возрастание установлено, но как узнать ограничена ли эта последовательность?

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

п.с. там, где в виде суммы..

[Brukvalub]

Mr.Cherry писал(а):

с первым а) так и не разобрался.. как там делать?
возрастание установлено, но как узнать ограничена ли эта последовательность?

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

п.с. там, где в виде суммы..

Brukvalub писал(а):

В первом пункте используйте представление:\[ \frac{1}{{(3n + 1)(3n + 4)}} = \frac{1}{3}(\frac{1}{{(3n + 1)}} - \frac{1}{{(3n + 4)}}) \]

[Mr.Cherry]

а что это даст?