2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Целочисленное равенство
Сообщение22.07.2017, 20:47 
$\left \lfloor (1+\sqrt{3})^{2n+1} \right \rfloor=(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$ Подскажите пожалуйста, не хочет решаться.Хотя-бы с чего правильно начать.Если степень суммы/ разности брать, то сокращаются дробные части, добавляются целочисленные понятно, что целое число будет, но как его равенство с левой частью доказывать?

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение22.07.2017, 21:04 
Индукция?

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение22.07.2017, 21:09 
sergei1961 в сообщении #1235335 писал(а):
Индукция?

Только индукцией можно доказать?

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение22.07.2017, 21:23 
Аватара пользователя
Второе слагаемое по модулю меньше $1$ и отрицательно — докажите.
Правую часть распишите по формуле бинома Ньютона и убедитесь, что получается целое число.

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение22.07.2017, 22:13 
Someone в сообщении #1235338 писал(а):
Второе слагаемое по модулю меньше $1$ и отрицательно — докажите.
Правую часть распишите по формуле бинома Ньютона и убедитесь, что получается целое число.

Спасибо большое. Подустал и просчитался со вторым слагаемым), оно же не может быть больше единицы.Теперь все очевидно.

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение23.07.2017, 23:06 
Аватара пользователя
А ещё правая часть это решение уравнения $x_{n+1}=2x_n+2x_{n-1}$ при начальных значениях 2 и 2. И по построению целочисленно. А второе слагаемое то положительно, то отрицательно и всегда меньше единицы.

 
 
 
 Re: Целочисленное равенство
Сообщение24.07.2017, 20:07 
Хотел еще уточнить, в данном примере степени нечетные, они дают нижнее округление. А если степени четные, то это округление вверх получится?

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group